nucleo

nucleo

nucleo di un omomorfismo ƒ da un gruppo G in un gruppo H, è l’insieme di tutti gli elementi di G la cui immagine è l’elemento neutro di H. Il nucleo di ƒ è un sottogruppo normale di G, indicato con il simbolo Ker(ƒ ) (dall’inglese kernel); il gruppo quoziente di G modulo il nucleo di ƒ è isomorfo all’immagine di ƒ. Questo risultato è riportato come teorema di omomorfismo tra gruppi. L’omomorfismo ƒ è iniettivo se e solo se il suo nucleo si riduce all’elemento neutro di G. La nozione di nucleo si estende in modo naturale agli omomorfismi di anelli e di campi, riferendosi alle rispettive strutture di gruppi additivi. In tali casi il nucleo risulta essere un ideale bilatero e vale un analogo teorema di omomorfismo per anelli. Poiché un campo possiede solamente ideali banali, il nucleo di un omomorfismo di campi ƒ: K → F è nullo oppure è tutto K, vale a dire che o ƒ è una immersione di K in F oppure è l’omomorfismo nullo.

□ Similmente al caso dei gruppi, il nucleo di una applicazione lineare ƒ di uno spazio vettoriale V in uno spazio vettoriale W è l’insieme degli elementi di V che hanno per immagine il vettore nullo di W. Il nucleo di ƒ forma un sottospazio vettoriale di V, indicato con il simbolo Ker(ƒ ), che si riduce al vettore nullo se e solo se ƒ è iniettivo. Come nel caso di un gruppo, vale il seguente teorema di omomorfismo per uno spazio vettoriale: lo spazio vettoriale quoziente di V modulo Ker(ƒ ) è isomorfo all’immagine di ƒ. Inoltre, se V ha dimensione finita, allora la sua dimensione coincide con la somma delle dimensioni dell’immagine di ƒ e del nucleo di ƒ.

□ Nucleo di una forma bilineare simmetrica su uno spazio vettoriale V è il massimo sottospazio ristretto al quale la forma quadratica è nulla.

□ In analisi infinitesimale, si chiama nucleo di un’equazione integrale una particolare funzione in x, y che compare sotto il segno d’integrazione; tale funzione è sviluppabile in una serie infinita di potenze oppure, più semplicemente, è un polinomio in x, y.