o piccolo
o piccolo
o piccolo in analisi, simbolo di rapporto infinitesimo, introdotto, come l’analogo «O grande», da E. Landau per esprimere un confronto tra ordini di grandezza di funzioni (si rimanda a → O grande per le avvertenze generali sull’utilizzo di tale simbolismo). Si dice che ƒ è o piccolo di g per x → x0, con g(x) ≠ 0, e si scrive ƒ(x) = o(g(x)) per x → x0, se il rapporto ƒ /g tende a 0 per x → x0. Nel caso in cui g(x) si annulli in un intorno di x0 questa definizione deve essere sostituita con la seguente: ƒ = o(g) se esiste h(x) tale che ƒ(x) = g(x)h(x) e h(x) → 0, per x → x0.
La relazione di o piccolo è una relazione di ordine parziale stretto (→ ordinamento) e segue delle regole, quali per esempio:
• se C è una costante non nulla, ƒ(x) = Co(g(x)) equivale a ƒ(x) = o(g(x));
• da ƒ(x) = h(x)o(g(x)) si deduce ƒ(x) = o(h(x)g(x)), e, più in generale, o(g(x))o(h(x)) = o(h(x)g(x)), ma anche o(g(x))O(h(x)) = o(h(x) g(x));
• ƒ(x) = o(g(x)) e g(x) = o(h(x)) implicano ƒ(x) = o(h(x)), cioè la relazione di o è transitiva;
• non può mai essere ƒ(x) = o(ƒ(x)) (e quindi la relazione di o non è riflessiva);
• se ƒ(x) = o(g(x)) non può essere g(x) = o(ƒ(x));
• ƒ(x) = o(1) è sinonimo di ƒ(x) è infinitesima (per x → x0);
• se ƒ(x) ≍ g(x), è ƒ(x) – g(x) = o(g(x)); in particolare si scrive ƒ(x) = g(x) + o(g(x)), per indicare che g(x) è la parte principale dell’infinitesimo ƒ(x) per x → x0. Per esempio, per x → 0 si ha: x 2 = o(x), sin√(x) = o(1), 1 − cosx = o(x).