CUSPIDE, o punto di regresso

CUSPIDE, o punto di regresso (fr. point de rebroussement; sp. cúspide; ted. Spitze o Rückkehrpunkt; ingl. cusp)

È una singolarità che può presentare una curva, piana o sghemba; per curve piane essa può avere l'una o l'altra delle forme indicate nelle figure 1 e 2. Mentre un punto P descrive la curva, in un senso determinato (che in ciascuna figura è indicato con frecce), si muove pure la tangente t alla curva nel punto P; e si possono considerare sia il moto di traslazione di P sulla retta t, sia il moto di rotazione della retta t intorno a P; quando P giunge in A, esso inverte il senso del suo moto sopra t; secondoché t non inverte oppure inverte il senso della sua rotazione intorno a P la forma della curva nelle vicinanze di A è quella della fig. 1, cuspide di prima specie, o quella della fig. 2, cuspide di seconda specie o becco (tedesco Schnabelspitze). Rispetto alla tangente nel punto A, che si dice tangente cuspidale, la curva è situata, nelle vicinanze di A, nel primo caso parte da una banda e parte dall'altra banda, e nel secondo caso da una sola banda. Di points de rebroussement parla Giovanni Bernoulli nel 1695; la cuspide di 2ª specie fu scoperta da G.-F. de l'Hôpital nel 1696; ne parla pure P.-L. de Maupertuis nel 1729; Eulero nel 1749 ne dà varî esempî, contro l'opinione del De Gua che nel 1740 ne negava a priori l'esistenza.

Se f (x, y) = 0 è l'equazione cartesiana della curva, le coordinate di A verificano, oltre l'equazione della curva, anche le condizioni:

le quali conducono in generale a cuspidi di prima specie; per quelle di 2ª specie si hanno particolarità analitiche ulteriori. In una cuspide di 1ª specie il raggio di curvatura (v.) è nullo o infinito: ciò dipende dal fatto che, quando P, percorrendo la curva, passa per la posizione A, il centro di curvatura relativo passa dall'una all'altra banda della tangente cuspidale; il che può avvenire, sia perché esso passa per A, sia per un suo passaggio attraverso la retta all'infinito del piano. In una cuspide di 2ª specie il raggio di curvatura può avere qualsiasi valore. La parabola semicubica y² = ax³, parabola cuspidata di Newton, ha nell'origine delle coordinate una cuspide di 1ª specie col raggio di curvatura nullo; di essa ci si può servire per approssimare un'altra curva dotata d'una singolarità siffatta, nell'intorno di questa. La curva y² = x⁵ ha nell'origine delle coordinate una cuspide di 1ª specie col raggio di curvatura infinito. E la curva (y−x²)² = x⁵ vi ha una cuspide di 2ª specie col raggio di curvatura 2. La cicloide ordinaria (v.), l'asteroide, e in generale tutte le epi- e ipocicloidi hanno delle cuspidi di 1ª specie col raggio di curvatura nullo nei punti ove esse incontrano la retta o il cerchio base. La cuspide si può pensare come un nodo infinitesimo, cioè come figura limite d'un nodo il cui occhiello venga impiccolito fino a scomparire (J. Stirling, 1717). Tale fatto intuitivo può essere precisato ricorrendo alla nozione del ramo di curva di origine A: le cuspidi si possono allora definire come dei punti doppî attraverso i quali la curva passa con un ramo solo anziché con due. Da questo punto di vista la natura d'una cuspide si può analizzare più profondamente: essa si dice di specie s se la curva ha su quell'unico ramo, infinitamente vicini ad essa, altri s − 1 punti doppî. In tutto ciò ci si può riferire a punti reali o complessi; se la curva passa per la cuspide con un ramo di punti reali, essa vi avrà la forma della fig. 1 0 della fig. 2 secondoché s è dispari o pari.

L'equazione d'una curva algebrica d'ordine n avente nell'origine delle coordinate una cuspide con l'asse x come tangente cuspidale è:

dove ϕ₃, ϕ₄, . . ., ϕ_n sono polinomî omogenei dei gradi espressi dai loro indici; se essi sono generici la cuspide è di 1ª specie.

Anche per una curva sghemba si avrà una cuspide, o punto di regresso, ogni volta che P, descrivendo la curva, inverte il senso del suo moto sopra la tangente t. Proiettando una curva sghemba sopra un piano da un punto situato sopra una sua tangente generica, ma diverso dal punto di contatto, la curva proiezione ha una cuspide nella traccia di quella tangente.

Bibl.: Ch. Wiener, Darstellende Geometrie, I, Lipsia 1884, p. 206; F. Enriques e O. Chisini, Lezioni sulla teoria geometrica delle equazioni e delle funzioni algebriche, Bologna 1915, I, pp. 72, 76; 1918, II, libro IV.