olomorfia

olomorfia

olomorfia in analisi, proprietà di una funzione complessa di variabile complessa definita su un aperto Ω ⊆ C consistente nel fatto che per ogni punto z₀ di Ω esiste una serie di potenze di centro z₀ e raggio di convergenza R > 0 la cui somma in ogni punto z interno al cerchio di convergenza è uguale al valore ƒ(z). Una funzione è olomorfa in Ω se e solo se ammette derivata complessa in ogni punto di Ω. Il termine olomorfia è quindi sinonimo di analiticità e si usa in locuzioni come «dominio di olomorfia», che è l’aperto in cui una funzione analitica ƒ(z) ammette derivata complessa (→ funzione analitica). Sono esempi di funzioni olomorfe i polinomi, le funzioni esponenziali, circolari e iperboliche. Si dice intera una funzione olomorfa in tutto il campo complesso; si dice meromorfa una funzione definita come rapporto di funzioni olomorfe. Una funzione olomorfa in Ω e nulla in un intorno di un punto di Ω è nulla in tutto Ω. Una funzione intera e limitata è costante (→ Liouville, teorema di (per una funzione analitica)). L’integrale di una funzione olomorfa in Ω esteso alla frontiera ∂D di un dominio regolare D contenuto in Ω è nullo. Ne consegue una delle formule integrali di → Cauchy, che esprime il valore di ƒ in ogni punto z interno a D mediante i valori assunti sulla frontiera di D. Una funzione olomorfa con derivata diversa da zero è detta trasformazione conforme: essa è caratterizzata dalla proprietà geometrica di conservare gli angoli con il proprio verso.