omografia

omografia

omografia o collineazione, corrispondenza biunivoca tra due spazi proiettivi di uguale dimensione S_n e S_n′ definita da equazioni del tipo

dove h è un numero reale non nullo, x_j e x_i′ sono le coordinate proiettive omogenee nei due spazi e la matrice A = (a_ij) ha determinante non nullo. Un’omografia tra due rette proiettive r e r′ è una corrispondenza biunivoca tra i punti delle due rette che conserva il → birapporto di quattro punti allineati. Una omografia tra due spazi proiettivi S_n e S_n′, di dimensione n ≥ 2, è una corrispondenza biunivoca tra i punti dei due spazi che conserva gli allineamenti, cioè trasforma terne di punti allineati di S_n in terne di punti allineati di S_n′. Il termine è spesso utilizzato come sinonimo di → proiettività, anche se il termine «proiettività» è generalmente riservato al caso in cui S_n e S_n′ sono sovrapposti. Se S_n e S_n′ sono due spazi proiettivi di dimensione n, allora esiste un’unica omografia tra essi che trasforma n + 2 punti di S_n, a n + 1 a n + 1 non appartenenti a un medesimo iperpiano. Se V_n+1 è lo spazio vettoriale a partire dal quale è stato costruito lo spazio proiettivo S_n, allora ogni proiettività di S_n (omografia di S_n in sé) è indotta da un automorfismo di V_n+1.

Nel caso di spazi sovrapposti è possibile classificare proiettivamente le omografie in base alla configurazione degli elementi uniti, cioè di quegli elementi o insiemi che corrispondono a sé stessi. Un’omografia tra piani sovrapposti, diversa dall’identità, ha in generale tre soli punti uniti. Se possiede più di tre punti uniti allora ha una retta di punti uniti ed è detta omologia piana (→ omologia). Un’omografia tra spazi sovrapposti, diversa dall’identità, ha in generale quattro punti uniti. Se possiede più di quattro punti uniti si possono presentare diversi casi. Può avere una retta di punti uniti e, in tal caso, è detta omografia assiale; può avere due rette sghembe di punti uniti e, in tal caso, è detta omografia biassiale; può avere un piano di punti uniti e, in tal caso, è detta omologia spaziale (→ omologia). Nell’omografia biassiale la retta passante per due punti corrispondenti A e A′ interseca ciascuna delle rette unite. Indicati con U e V tali intersezioni, il birapporto (UVAA′ ) assume un valore costante, detto caratteristica dell’omografia. Se questa vale −1, la trasformazione si dice omografia armonica. L’insieme delle omografie di uno spazio proiettivo in sé forma un gruppo. Lo studio delle proprietà delle figure invarianti per omografia costituisce l’oggetto della geometria proiettiva.