omomorfismo e isomorfismo, teoremi di

omomorfismo e isomorfismo, teoremi di

omomorfismo e isomorfismo, teoremi di in algebra, teoremi di teoria dei gruppi, riformulabili con opportune cautele nel contesto degli anelli e in quello degli spazi vettoriali e dei moduli, la cui prima enunciazione si deve a E. Noether (1927); essi stabiliscono significativi legami tra isomorfismi, omomorfismi e nuclei delle relative applicazioni.

Il teorema fondamentale di omomorfismo (o primo teorema di isomorfismo) stabilisce che, se ƒ: G → H è un omomorfismo tra due gruppi G e H, allora l’immagine Im(ƒ ) è un sottogruppo di H, il nucleo Ker(ƒ ) è un sottogruppo normale di G e il gruppo quoziente G/Ker(ƒ ) è isomorfo a Im(ƒ ).

Sotto il nome di teoremi di isomorfismo vanno i seguenti corollari del teorema fondamentale di omomorfismo (che qui vengono indicati come secondo e terzo teorema di isomorfismo, ma in letteratura non c’è accordo sulla classificazione).

Secondo teorema di isomorfismo: se H e N sono due sottogruppi di un gruppo G, con N sottogruppo normale, allora il sottoinsieme HN = {hn : h ∈ H, n ∈ N} è un sottogruppo di G; inoltre N è normale in HN, H ∩ N è normale in H e H /(H ∩ N) è isomorfo a HN /N.

Terzo teorema di isomorfismo (detto anche teorema sull’isomorfismo del quoziente doppio): se M e N sono due sottogruppi normali di G, con N contenuto in M, allora M /N è sottogruppo normale di G /N e (G /N)/(M /N) è isomorfo a G /M.