omomorfismo

omomorfismo

omomorfismo corrispondenza tra due insiemi A e B, dotati della stessa struttura algebrica (come per esempio quella di gruppo, di anello, di spazio vettoriale, di algebra), che rispetti le operazioni definite nei due insiemi: si parlerà più in particolare di un omomorfismo di gruppi, di anelli, di applicazioni lineari, di algebre. Per esempio, un omomorfismo di gruppi tra un gruppo G (con operazione ⋅) e un gruppo H (con operazione ∗) è un’applicazione ƒ: G → H tale che ƒ(a ⋅ b) = ƒ(a) ∗ ƒ(b), per ogni a, b appartenenti a G; similmente un omomorfismo di anelli tra un anello A (con operazioni + e ⋅) e un anello B (con operazioni # e ∗) è un’applicazione ƒ: A → B tale che ƒ(a + b) = ƒ(a) # ƒ(b) e ƒ(a ⋅ b) = ƒ(a) ∗ ƒ(b), per ogni a, b appartenenti a A. Se ƒ: G → H è un omomorfismo tra due gruppi G e H con elementi neutri rispettivamente 1_G e 1_H, allora vale ƒ(1_G) = 1_H; se invece ƒ: A → B è un omomorfismo tra due anelli unitari A e B con unità rispettivamente 1_A e 1_B, allora non necessariamente vale ƒ(1_A) = 1_B: se tale uguaglianza è soddisfatta allora si parla di un omomorfismo unitario (o omomorfismo di anelli unitari). Se X e Y sono due insiemi ordinati, dotati rispettivamente di ordinamenti ≤ e ◁, allora un omomorfismo d’ordine (o semplicemente morfismo d’ordine) tra X e Y è un’applicazione ƒ: X → Y che rispetti gli ordinamenti, vale a dire tale che valga ƒ(a) ◁ƒ(b) ogniqualvolta vale a ≤ b, dove a e b sono arbitrari elementi di X.

Un omomorfismo iniettivo (vale a dire che a elementi distinti associa elementi distinti) si chiama monomorfismo; un omomorfismo suriettivo (vale a dire tale che ogni elemento di B sia corrispondente ad almeno un elemento di A) si chiama epimorfismo; un omomorfismo biiettivo è detto isomorfismo. Se B = A, l’omomorfismo è detto un endomorfismo di A; un endomorfismo che sia anche un isomorfismo è detto un automorfismo. L’insieme di tutti gli endomorfismi di A costituisce un monoide rispetto all’operazione di composizione, indicato con il simbolo End(A) e con elemento neutro l’omomorfismo identità (che a ogni elemento associa sé stesso); una simile situazione si ha per gli automorfismi di A, che formano un gruppo indicato con il simbolo Aut(A).

Il nucleo di un omomorfismo di gruppi (rispettivamente di anelli, di spazi vettoriali) ƒ: A → B è l’insieme degli elementi di A la cui immagine è l’elemento neutro (rispettivamente l’elemento neutro additivo, il vettore nullo) di B; il nucleo costituisce un sottogruppo normale (rispettivamente un ideale bilatero, un sottospazio vettoriale) di A indicato con il simbolo Ker(ƒ ). L’immagine di ƒ è invece l’insieme degli elementi di B che sono immagine di qualche elemento di A; l’immagine costituisce un sottogruppo (rispettivamente un sottoanello, un sottospazio vettoriale) di B indicato con il simbolo Im(ƒ ). Esistono vari teoremi che mettono in relazione il nucleo e l’immagine di un omomorfismo (→ omomorfismo e isomorfismo, teoremi di).

☐ In teoria dei grafi, si stabilisce un omomorfismo tra grafi come un’applicazione tra di essi che conserva le adiacenze. Formalmente, dati due grafi non orientati G(X, A) e G′(X′, A′ ) un omomorfismo tra essi è una coppia di applicazioni ƒ: X → X′ e g: A → A′ tali che a ogni a ∈ A di nodi estremi x₁ e x₂ corrisponda g(a) di nodi estremi g(x₁) e g(x₂) oppure g(a) coincida con g(x₁) = g(x₂). Nel primo caso a un arco corrisponde un arco, nel secondo caso, nella rappresentazione, a un arco corrisponde un nodo.