operatore funzionale

operatore funzionale

operatore funzionale operatore che agisce tra spazi di funzioni e che associa, univocamente e secondo una ben determinata legge, una funzione a ogni elemento di un certo sottoinsieme dello spazio. Detto Φ un operatore funzionale, la legge di associazione è indicata mediante una relazione del tipo g(y) = Φ[ƒ(x)]. La ƒ è detta funzione origine, mentre g è detta immagine o funzione trasformata. Gli spazi a cui appartengono l’origine e l’immagine possono anche essere diversi; per esempio, la trasformazione di → Laplace associa funzioni di variabile complessa a funzioni di variabile reale. Si elencano qui di seguito alcuni operatori funzionali di uso comune per i quali sia l’origine sia l’immagine sono funzioni di variabile reale:

• operatore modulo: g(x) = |ƒ(x)|. Il grafico dell’immagine coincide con quello della funzione origine quando questa è positiva o nulla, altrimenti è il grafico della funzione −ƒ(x);

• operatore traslatore: g(x) = ƒ(x) + k. Il grafico dell’immagine si ottiene traslando parallelamente all’asse delle y il grafico della funzione origine;

• operatore proporzionale: g(x) = k ⋅ ƒ(x). Il grafico dell’immagine si ottiene modificando la scala delle ordinate mediante un fattore k;

• operatore di simmetrizzazione: g(x) = ƒ(|x|). Il grafico dell’immagine è identico a quello della funzione origine in corrispondenza delle ascisse positive, mentre corrisponde a quello di ƒ(−x) per valori negativi delle ascisse;

• operatore parte intera: costruito in analogia con la → funzione parte intera, opera campionando la funzione origine in corrispondenza dei valori delle ascisse che le fanno assumere valori interi e mantenendo costante il valore dell’immagine negli intervalli compresi tra tali valori delle ascisse. Per esempio, la parte intera di x ² è una funzione che vale 0 per x compreso tra 0 e 1, vale 1 per x compreso tra 1 e √(2), 2 per x compreso tra √(2) e √(3) ecc.;

• operatore potenza di esponente dispari: costruito in analogia con la funzione y = a^x, che si definisce, data come base a un numero reale non nullo, a partire dall’operazione di elevazione a potenza e dalle sue generalizzazioni (per le quali si veda → potenza). Nel caso di esponente dispari, si ha: g(x) = (ƒ(x))²ⁿ⁺¹; la funzione immagine è definita nello stesso insieme di ƒ(x) e si conservano le eventuali simmetrie rispetto all’asse y e rispetto all’origine nonché l’eventuale periodicità;

• operatore potenza di esponente pari: costruito come il precedente, ha come espressione g(x) = (ƒ(x))²ⁿ; la funzione immagine è definita nello stesso insieme di ƒ(x), ma i suoi valori sono sempre positivi o nulli. Si conservano l’eventuale simmetria rispetto all’asse y e la periodicità, mentre si muta l’eventuale simmetria rispetto all’origine in simmetria rispetto all’asse y, così trasformando una funzione dispari in funzione pari;

• operatore radice d’indice dispari:

L’immagine è definita nello stesso insieme della funzione data e i suoi valori hanno lo stesso segno di quelli di ƒ(x). Si conservano le eventuali simmetrie rispetto all’asse y e rispetto all’origine, nonché l’eventuale periodicità;

• operatore radice d’indice pari:

L’immagine è definita solo per ƒ(x) ≥ 0 e i suoi valori sono sempre positivi o nulli. Si conservano l’eventuale simmetria rispetto all’asse y e la periodicità, ma non le eventuali simmetrie rispetto all’origine;

• operatore esponenziale: costruito in analogia con la → funzione esponenziale di data base b > 0, b ≠ 1, è g(x) = b^ƒ(x). La funzione immagine vale 1 in corrispondenza degli zeri di ƒ(x). Se b > 1, è sempre positiva in corrispondenza di tutti gli altri valori per cui la ƒ è definita ed è crescente (rispettivamente decrescente) laddove la ƒ origine è crescente (rispettivamente decrescente); inoltre se ƒ(x) → ∞ per x → ± ∞, la funzione immagine per x → ± ∞ tende anch’essa a ∞. Se invece 0 < b < 1, l’operatore esponenziale restituisce una funzione crescente (rispettivamente decrescente) laddove la funzione origine ƒ è decrescente (rispettivamente crescente). Ne segue che la funzione trasformata ha punti stazionari in corrispondenza dei valori y nei quali la funzione origine ƒ ha essa stessa punti stazionari; inoltre, sempre per 0 < b < 1, se ƒ(x) → ∞ (rispettivamente ƒ(x) → 0) per x → ± ∞, la funzione immagine, per x → ± ∞, tende a 0 (rispettivamente ƒ(x) → ∞). Conserva l’eventuale simmetria rispetto all’asse y e la periodicità, ma non conserva la simmetria rispetto all’origine;

• operatore mantissa: costruito in analogia con la → funzione mantissa, opera associando a ogni funzione la differenza tra sé stessa e la sua parte intera. Per costruire il grafico della funzione immagine, le porzioni di grafico di ƒ(x) comprese tra y = k e y = k + 1 vengono traslate fino a occupare la fascia tra le rette y = 0 e y = 1;

• operatore logaritmo: costruito in analogia con la → funzione logaritmica log_ax di data base a > 1, opera selezionando i valori in cui la funzione origine ƒ è positiva e associandovi i loro logaritmi in base a. La funzione immagine è infatti definita per ƒ(x) > 0; inoltre è crescente (rispettivamente decrescente) laddove la ƒ origine è crescente (rispettivamente decrescente). Conserva l’eventuale simmetria rispetto all’asse y e la periodicità, ma non conserva l’eventuale simmetria rispetto all’origine.