operatore pseudodifferenziale
operatore pseudodifferenziale
operatore pseudodifferenziale in analisi, generalizzazione della nozione di operatore differenziale lineare che fa uso, per esempio, della trasformata di Fourier. Senza entrare nei dettagli tecnici, assai formali, si parte dalla proprietà della trasformata
(proprietà d) della voce → Fourier, trasformazione di) per cui alla derivazione della funzione ƒ(x) corrisponde la moltiplicazione della trasformata per la variabile duale i ξ. Pertanto, a un generico operatore differenziale P(x, D), dove D = −id /dx, corrisponde la moltiplicazione per il polinomio in ξ, a coefficienti regolari in x, P(x, ξ). Per esempio, l’espressione y″ + xy″ si può scrivere come (−D 2 + ixD)y, e la sua trasformata di Fourier è
Sostituendo al polinomio P un generico “simbolo” p(x, ξ) che abbia crescita non più che polinomiale in ξ si ottiene la trasformata di una espressione che viene interpretata come la applicazione a y di un operatore lineare, detto appunto operatore pseudodifferenziale, che agisce in opportuni spazi di distribuzioni. Questa tecnica si applica usualmente in più variabili e consente uno studio unificato e generale di ampie classi di equazioni differenziali alle derivate parziali.