OVALE e OVALOIDE

OVALE e OVALOIDE

. 1. Definizione. - Il triangolo, il quadrato, il cerchio dànno altrettanti esempî di regioni limitate del piano, tali che ogni segmento, il quale ne congiunga due punti, appartiene per intero alla regione. Questa proprietà è comune a molte altre figure piane, come i poligoni convessi, i segmenti circolari, le ellissi, ecc.; e nello spazio appartiene a tutti i poliedri convessi, al cilindro e al cono rotondi, alla sfera, alle lenti biconvesse o piano-convesse, ecc. Generalizzando, si dice figura convessa o corpo convesso ogni insieme di punti, del piano o dello spazio, che sia limitato e chiuso (per queste due condizioni v. insieme, n. 4) e di più sia tale, che ogni segmento, il quale ne congiunga due punti, appartenga tutto all'insieme. Il contorno di una figura convessa si chiama ovale o ovaloide, secondo che la figura è piana o solida (limitando, talvolta, queste denominazioni al caso, in cui il contorno considerato non comprenda segmenti rettilinei o parti piane).

2. Cenno storico. - La nozione di figure convesse e di ovali è certamente molto antica, ché già Archimede ebbe ad osservare che di due ovali, una interna all'altra, quella interna ha lunghezza minore. Ma la teoria generale delle figure convesse si può dire nata con le ricerche di J. Steiner (1836) e di H. A. Schwarz (1884), in relazione alle proprietà di massimo del cerchio e della sfera; e la prima trattazione esplicita delle ovali e delle ovaloidi è quella di H. Brunn (Über Ovale und Eiflächen, Monaco 1887), al quale si debbono, insieme a H. Minkowski, le nozioni essenziali della teoria. L'interesse dei corpi convessi e la letteratura relativa sono andati sempre crescendo con l'ampliarsi dei campi in cui essi naturalmente si presentano: teoria dei volumi, aree e lunghezze (Minkowski), teoria dei numeri (Minkowski), teoria delle funzioni (C. Carathéodory), teoria delle serie a termini complessi (E. Steinitz), teoria delle deformazioni delle superficie (H. Liebmann, D. Hilbert), problemi di variazione (W. Blaschke, T. Bonnesen, ecc.).

Infine i corpi convessi trovano applicazione nella teoria delle macchine (F. Reuleaux), in quella dei corpi galleggianti (C. Dupin) e in quella delle probabilità geometriche.

3. Rette radenti o d'appoggio. - Ogni retta che contenga almeno un punto della figura convessa piana C e tale che C appartenga a uno dei semipiani da essa determinati, si dice radente o d'appoggio (ted. Stützgerade); analogamente si definiscono i piani radenti (Stützebene) per una figura convessa solida. In ogni punto di una C esiste almeno una retta radente: il punto dicesi regolare se ne esiste una sola; singolare in caso opposto. Una C può avere al più un insieme numerabile di punti singolari angolosi.

4. Rappresentazione analitica di una figura convessa. - Scelta l'origine O di un sistema cartesiano ortogonale entro C, sia x (x₁, x₂) un qualsiasi punto del piano e ξ (ξ₁, ξ₂) il punto in cui la semiretta Ox sega l'ovale, contorno di C. La "funzione di distanza" (Minkowski)

gode delle seguenti proprietà:

In forza delle (3) e (4) la F (x) si dice una funzione convessa, positivamente omogena di 1° grado.

Se a ogni coppia ordinata di punti x, y si attribuisce la "distanza" definita da

si ha la "metrica di Minkowski". È

e inoltre

La distanza non è simmetrica rispetto alla coppia di punti, per cui è calcolata, a meno che C abbia un centro, e questo sia O.

5. Numeri e figure determinati da una figura convessa. - Una figura piana convessa ha sempre un'area (v.) F, nel senso di Peano-Jordan e una lunghezza (v.) L; così un corpo convesso ha sempre un volume V e un'area S.

Il Minkowski ha dato la seguente relazione che può servire di definizione di S. Si consideri il minimo corpo convesso C_μ, cui appartengono le sfere di raggio μ descritte intorno ai punti del contorno di C, e sia V_μ, il suo volume:

Analogamente per la lunghezza L di un'ovale.

Larghezza di una figura convessa C, in una direzione u, è la distanza l(u) delle rette o dei piani d'appoggio normali ad u. Diametro e spessore di C sono rispettivamente la massima e la minima larghezza. Il diametro D è anche la massima distanza di due punti di C, e lo spessore d è anche la minima corda di C.

La figura convessa C, ove con n s'indichi 2 o 3, secondo che C è piana o solida, è contenuta nella sfera di raggio nD/(n +1) e contiene la sfera di raggio d/(n +1), descritte intorno al suo centro di gravità (per distribuzione omogenea di masse).

Si definisce anche una larghezza media, cioè il valor medio della larghezza di C nelle varie direzioni. Essa è data nel piano da

e nello spazio da

dove Ω è la sfera di centro O e raggio 1. Si ha l^* = L/π per le ovali, l^* = M/2π per le ovaloidi, ove M è l'integrale della curvatura media dell'ovaloide. Naturalmente d ≤ l^* ≤ D. Risultano determinati da C il minimo cerchio (o la minima sfera) contenente C e il massimo cerchio (o la massima sfera) contenuto in C, e i loro raggi R ed r; e così l'anello circolare (o il corrispondente involucro sferico) contenente il contorno di C, per cui la differenza R^* − r^*. dei raggi è minima.

6. Problemi di estremo per corpi convessi. - Le grandezze ora introdotte per i corpi convessi e le disuguaglianze fra esse valide dànno luogo a problemi di estremo interessanti, perché non sempre sono a essi applicabili i metodi generali del calcolo delle variazioni (v. variazioni, calcolo delle). Le difficoltà sorgono da condizioni qualitative, quali la convessità, quando esse non risultino inessenziali, come nel classico problema degli isoperimetri (v.).

In generale la dimostrazione dell'esistenza di un estremo poggia sul seguente "teorema di scelta" di W. Blaschke, generalizzante il teorema di Bolzano-Weierstrass (v. insieme, n. 4). In un insieme infinito di figure convesse, che sia uniformemente limitato (cioè tale che tutte le sue figure siano rinchiudibili in una stessa sfera di raggio conveniente), si può sempre scegliere una successione numerabile di esse, convergente verso una figura convessa.

Diamo alcuni esempî di questi problemi. Per le ovali valgono le limitazioni seguenti:

di cui ciascuna è più significativa della precedente. Le uguaglianze valgono solo per il cerchio, il quale fornisce la soluzione dei diversi problemi di estremo, che si ottengono fissando nelle relazioni precedenti tutte le grandezze che vi compaiono meno una.

Da l^* = π/D e d ≤ l^* ≤ D segue che fra le ovali di ugual lunghezza hanno il minimo diametro (o il massimo spessore) quelle di larghezza costante (su queste ovali v. appresso).

Inoltre

e, dato R, il minimo di D si ha per tutte le ovali di diametro D = R √3 contenenti il triangolo equilatero di questo lato. Analogamente

e vale l'uguaglianza per il solo triangolo equilatero.

Ancora

gli estremi sono raggiunti nella prima e terza relazione dalla figura comune a un cerchio di raggio D e a una striscia di spessore d, la cui mediana passi per il centro del cerchio; nella seconda si ha l'estremo per la figura convessa costituita dal cerchio di raggio d e dai segmenti di tangenti condotte dai punti distanti dal centro D/2, presi sopra un diametro.

Altri risultati si conoscono per gli estremi di F, dati L e D (o d, o R, o r), oppure R^* ed r^*.

Per le ovaloidi valgono le limitazioni seguenti:

Nelle prime tre relazioni sussistono le uguaglianze per la sola sfera; nell'ultima invece per la sfera e anche per il corpo convesso limitato da una porzione della sfera e da un cono tangente.

7. Ovali e ovaloidi a centro. - Se esiste un punto O che sia medio di tutte le corde per esso, l'ovale o l'ovaloide si dicono a centro. Se le proiezioni ortogonali di un'ovaloide su piani sono ovali a centro, anche l'ovaloide è a centro. Se esiste un punto O tale che tutti i piani per esso dividano il volume dell'ovaloide in parti uguali, O è il centro dell'ovaloide; analogamente se le sezioni coi piani per O hanno il baricentro in O.

Fra le ovaloidi è caratteristica dell'ellissoide la proprietà di essere tagliato dai piani che l'incontrano secondo ovali a centro.

Il teorema che serve di passaggio fra la teoria dei corpi convessi e la geometria dei numeri secondo Minkowski è il seguente: se si "reticola" il piano o lo spazio con quadrati o cubi di lato 1, una figura convessa avente per centro un vertice del reticolato e tale che sia rispettivamente F ≥ 2² o V ≥ 2³, contiene almeno un altro vertice.

8. Ovali e ovaloidi di larghezza costante (orbiformi e sferoformi). - Sono quelli la cui larghezza l non dipende dalla direzione. Se le ovali proiezioni ortogonali di un'ovaloide sono di larghezza costante, tale è pure l'ovaloide. In un'ovale a larghezza costante il minimo cerchio che la contiene e il massimo cerchio in essa contenuto sono concentrici e coincidono con i cerchi dell'anello minimo racchiudente l'ovale (R = R^*, r = r^*). Analogamente per le ovaloidi.

La più semplice curva orbiforme dopo il cerchio è il triangolo del Reuleaux: si costruisce a partire dal triangolo equilatero sostituendo a ciascun lato (v. fig.) l'arco di cerchio che passa per i due vertici di esso e ha centro nel rimanente. Più in generale si dice poligono del Reuleaux l'orbiforme che si ottiene da un poligono stellato regolare ad n lati, conducendo, con centro in ogni vertice, l'arco circolare che congiunge il vertice che precede con quello che segue.

Ogni orbiforme è approssimabile con poligoni di Reuleaux. A ogni orbiforme è circoscrivibile un esagono regolare avente per distanza dei lati opposti la larghezza dell'ovale. Fra le orbiformi di larghezza assegnata il cerchio ha l'area massima e il triangolo di Reuleaux la minima.

Per le orbiformi valgono le limitazioni

e le uguaglianze sussistono per i soli triangoli del Reuleaux.

Citiamo la seguente proprietà caratteristica della sfera: esiste per essa una stella di piani che la tagliano in orbiformi.

9. Proprietà differenziali dei corpi convessi. - Se si suppone l'esistenza delle derivate prime e seconde, ovunque finite e continue, per le funzioni che rappresentano le ovali o le ovaloidi, si hanno per esse proprietà di curvatura e nuovi problemi di estremo appartenenti alla geometria differenziale in grande. Eccone alcuni. Il massimo cerchio, che può rotolare in un'ovale, ha per raggio il minimo raggio di curvatura dell'ovale. Analogamente per il minimo cerchio in cui può rotolare un'ovale. Segue in particolare che lunghezza e area dell'ovale sono comprese fra quelle dei cerchi ora detti. Un'ovale ha almeno 4 vertici (punti di estremo della curvatura); e, più in generale, se un'ovale è segata da un cerchio in 2n punti, essa ha almeno 2n vertici. Se l'ovale ha in ogni punto una conica osculatrice (a contatto cinquepunto), esistono almeno 5 punti in cui questa conica risulta iperosculatrice, e 8 se l'ovale è a centro. Se tutte le coniche osculatrici sono ellissi, cinque punti qualunque dell'ovale determinano un'ellisse.

Per le ovaloidi: la massima sfera che può rotolare entro un'ovaloide ha per raggio il minimo raggio principale di curvatura dell'ovaloide; analogamente per la minima sfera entro cui un ovale può rotolare.

Un'ovaloide la cui curvatura gaussiana in ogni punto sia ≥ 1/A² e che contenga una sfera di raggio R (〈 A) ha un diametro

in particolare D 〈 πA (O. Bonnet).

Un'ovaloide la cui curvatura gaussiana sia in ogni punto ≤ 1/B² e che sia interna ad una sfera di raggio S ha uno spessore

Pure pertinente alla curvatura è la ricerca delle ovaloidi di uguale chiarezza (cioè tali che i cilindri circoscritti abbiano tutti sezioni normali della stessa area); esse sono caratterizzate dalla costanza della somma delle inverse delle curvature gaussiane nei punti in cui i piani tangenti sono paralleli. Invece se le curvature in tali punti sono uguali, l'ovaloide è a centro.

Di molto maggiore interesse sono il risultato di H. Poincaré sull'esistenza di almeno tre geodetiche chiuse sopra un'ovaloide e le ricerche sulle geodetiche chiuse di G. Darboux, Zoll, P. Funk e G. D. Birkhoff.

Il fatto che un'ovaloide ha curvatura costante non negativa si può invertire: una superficie chiusa a curvatura variabile con continuità e sempre positiva è un'ovaloide (si noti che l'analoga affermazione per le curve piane non vale). Si connettono a questa proprietà le ricerche sulla deformabilità di un'ovaloide: H. Liebmann (1899), e poi D. Hilbert e W. Blaschke, hanno dimostrato che un'ovaloide è indeformabile nel senso che, se due ovaloidi sono rappresentabili isometricamente l'una sull'altra, si può passare dall'una all'altra con un movimento o con una simmetria. Secondo H. Weyl una forma quadratica differenziale binaria a curvatura positiva determina un'ovaloide a meno di movimenti e similitudini. Al Liebmann si deve pure la dimostrazione della indeformabilità o rigidità di un'ovaloide nel senso che è impossibile dare ad essa una deformazione isometrica infinitesima. Invece un'ovaloide bucata (cioè dalla quale sia tolto un pezzo) è sempre suscettibile di una deformazione infinitesima.

10. I corpi convessi nell'analisi. - Diamo infine due esempî che mostrano l'importanza dei corpi convessi nell'analisi.

Il primo si riferisce al teorema del valor medio del calcolo integrale nel campo complesso. Siano f(z), ϕ (z), due funzioni della variabile complessa z, che sopra la curva γ di equazione z = z (t) siano continue fra a = z(α) e b = z(β); e di più ϕ (z) sia positiva su γ. Sia G l'insieme dei valori assunti da f (z) su γ e sia Γ la più piccola figura convessa (involucro convesso) contenente G. Il teorema del valor medio afferma che esiste in Γ un punto ζ per cui

L'altro esempio si riferisce alle serie a termini complessi. Sia G un insieme numerabile di numeri complessi (a due unità); e si indichi con G^* l'insieme di tutte le somme parziali formate di suoi elementi e con Γ l'involucro convesso dall'insieme 2 G^*. Un teorema di E. Steinitz afferma che: Condizione necessaria e sufficiente affinché G sia sommabile (cioè si possano formare con i suoi elementi serie convergenti) è che:

1. il limite dei suoi elementi γ_p per p ?? sia zero;

2. l'insieme G^* sia simmetricamente esteso (cioè, se è limitato in una direzione, lo sia anche nell'opposta).

Soddisfatte queste condizioni, il campo di sommabilità di G (cioè il luogo dei punti rappresentativi di somme di serie formate con gli elementi di G) è il luogo dei centri di simmetria di Γ; precisamente:

1. se G^* è limitato in tutte le direzioni, Γ è un'ovale a centro, immagine delle somme di tutte le serie formate con elementi di G (che risultano incondizionatamente convergenti);

2. se G^* è limitato in tutte le direzioni meno una (e la sua simmetrica), Γ è una striscia la cui mediana è il campo di sommabilità di G;

3. se G^* è illimitato in tutte le direzioni, Γ invade tutto il piano.

Questo teorema (che vale anche per numeri complessi a più di due unità) estende alle serie a termini complessi un noto teorema di Riemann sulle serie a termini reali.

Bibl.: T. Bonnesen e W. Fenchel, Theorie der konvexen Körper, Berlino 1934, con larghissima bibliografia.