parentesi

parentesi

parentesi coppia di segni simmetrici che alterano il consueto ordine di precedenza delle operazioni in una espressione aritmetica o algebrica. Si distinguono parentesi tonde (…), parentesi quadre […] e parentesi graffe {…}. È d’uso utilizzare le parentesi graffe soltanto se al loro interno compaiono parentesi quadre o tonde e utilizzare parentesi quadre soltanto se al loro interno compaiono parentesi tonde. Le espressioni all’interno delle parentesi più interne hanno precedenza di calcolo rispetto alle altre parti delle espressioni.

Così, nonostante l’ordine di precedenza delle operazioni sia il seguente:

• elevazioni a potenza ed estrazioni di radici;

• moltiplicazioni e divisioni;

• addizioni e sottrazioni;

l’espressione 2{3 + 4[(5 + 6)²]}, in virtù della presenza di parentesi, va calcolata nel seguente ordine:

La diversa forma delle parentesi è soltanto un ausilio visivo per stabilire quale sia la corrispondente parentesi chiusa di una aperta. Da un punto di vista logico e negli strumenti di calcolo in generale, la forma delle parentesi non ha alcun significato e importano soltanto i livelli di incapsulamento relativo. Così, se si volesse far eseguire l’espressione precedente da una calcolatrice scientifica, occorrerebbe scrivere 2 ⋅ (3 + 4 ⋅ ((5 + 6)²)), nella quale il livello di calcolo più interno (5 + 6) è quello da eseguire per primo. Occorre inoltre tenere presente che spesso in matematica si utilizzano scritture non lineari (cioè non scritte su una sola riga), come per esempio

La linea orizzontale ha valore di divisione tra le due espressioni a numeratore e denominatore come se entrambe fossero poste tra parentesi. Se si vuol utilizzare uno strumento di calcolo che accetti soltanto input sequenziali e quindi lineari, occorre riscrivere l’espressione introducendo le parentesi implicite: √((3 + 5))/(7 + 9).

Le parentesi sono inoltre utilizzate per indicare l’area di azione di un operatore, sia esso funzionale o logico; per esempio nella scrittura ƒ(x, y) le parentesi indicano quali sono le variabili su cui agisce la funzione f; nella scrittura ∀x(x > 2 ∧ x ∈ N) le parentesi indicano il campo d’azione del quantificatore «per ogni» (indicato con ∀).

Sono poi utilizzate parentesi anche per altri scopi. Per esempio:

• tonde: per indicare una coppia o, più in generale, una n-pla ordinata: (a, b), …, (x₁, …, x_n); tale notazione è utilizzata anche per indicare le componenti di un vettore; nel contesto degli spazi di Hilbert la parentesi tonda che racchiude una coppia di elementi indica che tali elementi sono vettori e che se ne considera il prodotto scalare;

• quadre, con più elementi al loro interno: per indicare una matrice o un vettore con le sue componenti, v = [v₁ v₂ … v_n] sottolineando con tale notazione che un vettore è una particolare matrice (di una riga e n colonne);

• quadre, con un numero al loro interno: denotano la funzione parte intera: per esempio, poiché la parte intera del numero decimale 2,3 è 2, si scrive [2,3] = 2;

• graffe: per indicare gli elementi di un insieme: A = {1, 2, 3, 4} o, in forma sintetica, una successione di elementi {s_n}.

Una sola parentesi graffa aperta che presenta su più righe più formule indica poi un sistema di formule, cioè l’insieme degli elementi che soddisfano tutte le formule precedute dalla parentesi. Le parentesi sono inoltre utilizzate in altri contesti con significati particolari. In alcuni contesti si utilizzano simboli simmetrici che hanno un ruolo analogo a quello delle parentesi, ma un proprio significato e una propria forma grafica: per esempio, il valore assoluto di una espressione si indica racchiudendo l’espressione tra due barrette verticali, quale |x – 4|; la norma di un vettore v è espressa nella forma ||v|| mentre la scrittura ‹u, v› indica in alcuni casi il prodotto scalare dei vettori u e v.

Un utilizzo “misto” di parentesi quadre e tonde si ha quando queste sono impiegate per indicare un intervallo di numeri reali, che può comprendere o meno uno dei suoi estremi o entrambi; se l’estremo è incluso si usa la parentesi quadra, altrimenti la tonda e si hanno scritture miste del tipo [a, b), che denota l’intervallo formato da tutti i numeri reali x tali che a ≤ x < b, oppure (a, b], che denota l’intervallo formato da tutti i numeri reali x tali che a < x ≤ b.