percolazione

percolazione

Tipologia di modelli matematici (ingl. percolation) formulati per comprendere fenomeni di diffusione di un materiale, o segnale, in un mezzo la cui struttura interna è disomogenea e finita, tipicamente una rete di siti non completamente collegati. L’obiettivo è comprendere il comportamento macroscopico del mezzo in funzione delle sue caratteristiche microscopiche, come pure il movimento del segnale al suo interno.

Aspetti matematici

Il problema originario, formulato negli anni 1950, consiste nel caratterizzare la legge che, con riferimento a due siti, descrive la probabilità che il segnale che parte da uno arrivi all’altro, date le specificità dei loro legami, come le probabilità di essere attivi o meno, e le caratteristiche dei siti stessi, come l’interazione con il segnale dato. Pur mancando ancora una risposta generale a questa domanda, il risultato su cui convergono gli studi suggerisce che questa legge non solo sia fortemente non lineare, ma si manifesti anche come una transizione di fase, ovvero con significativi cambiamenti macroscopici per piccoli cambiamenti dei parametri che regolano le proprietà microscopiche. Se si considera il caso in cui il mezzo è descritto da un unico parametro microscopico, come la probabilità che due nodi siano collegati, si dimostra, per es., che la probabilità che il segnale che parte dal bordo del reticolo ne raggiunga il centro è zero per valore del parametro inferiore a un valore critico, positiva al valore critico, e poi crescente velocemente. Laddove risultati analitici non sono disponibili, come nelle applicazioni economiche descritte oltre, lo stesso comportamento è stato rappresentato tramite simulazioni.

La p. è anche associata ai fenomeni di criticità auto-organizzantesi (➔), poiché, quando i parametri microscopici hanno una propria dinamica influenzata a loro volta dal comportamento macroscopico del mezzo, si osserva una propensione degli stessi a raggiungere i propri valori critici.

Applicazioni economiche

Modelli di p. sono stati formulati per comprendere quei fenomeni in cui l’interazione locale dei soggetti economici è un tratto saliente. Tra le applicazioni di maggior successo vi sono le scelte in un contesto in cui l’informazione ha un carattere locale, come quella tra diverse tecnologie o prodotti innovativi, le scelte in ambito d’intrattenimento e quelle di investimento. Se, per es., la qualità di un prodotto è inferiore a un valore critico, la sua p. in un mercato potrebbe non raggiungere tutti i potenziali consumatori, mentre, se la sua qualità è maggiore, anche di poco, del valore critico, tutti i potenziali consumatori sarebbero raggiunti. Per tale motivo, in questi mercati prodotti di qualità non dissimile possono avere un diverso grado di penetrazione se le loro qualità sono poco sotto o poco sopra il valore ciritco. Laddove ciò è realizzato dai produttori, le qualità poco superiori al livello critico diventano quelle che minimizzano il rapporto costi/benefici, dando origine a un fenomeno di self organized criticality.