PERIMETRO

PERIMETRO

. D'un poligono piano si dice perimetro la linea spezzata che lo racchiude o, se si vuole, la somma dei suoi lati; e, più in generale, d'una qualsiasi regione piana, limitata e connessa (cioè tutta d'un pezzo), si dice perimetro la linea chiusa (o, eventualmente, l'insieme di linee chiuse) che ne costituisce il contorno. Nell'uso corrente si chiama spesso perimetro la rispettiva lunghezza.

Va sotto il nome di "metodo dei perimetri" uno dei metodi elementari per il calcolo del numero π, rapporto della lunghezza della circonferenza al rispettivo diametro. Si denotino con c la lunghezza della circonferenza di raggio 1, e con p_n, P_n i perimetri dei poligoni regolari di n lati, rispettivamente iscritto e circoscritto a codesta circonferenza. Per la definizione stessa di c si ha p_n 〈 c 〈 P_n per ogni possibile valore di n; e p_n, P_n, al crescere indefinito del numero n dei lati, si approssimano indefinitamente o, come più precisamente si dice, tendono a c (v. limite), il primo crescendo, il secondo decrescendo. Di qui e dalla relazione c = 2π, scritta sotto la forma 2/c =1/π, discende che i numeri

sono alternativamente minori e maggiori di 1/π e tendono ad esso. Ora per i primi due termini della successione (1) si hanno i valori

e, in base a proprietà elementari dei poligoni regolari iscritti e circoscritti a una circonferenza, si riconosce agevolmente che gli altri termini della (1), a partire dal terzo, sono alternativamente eguali alla media aritmetica e geometrica dei due immediatamente precedenti. Si ha, così, un algoritmo infinito che, a partire dai due valori (2), permette di calcolare per 1/π, l'uno dopo l'altro, valori approssimati quanto si vuole. Ma va notato che questo metodo dei perimetri e i metodi elementari congeneri (degl'isoperimetri, delle aree, degli equivalenti), i quali tutti conducono alla medesima successione di medie aritmetiche e geometriche, dianzi considerate, hanno prevalentemente un interesse storico e didattico, perché si possiedono altri algoritmi infiniti che guidano allo scopo più rapidamente.