Argand-Gauss, piano di
Argand-Gauss, piano di
Argand-Gauss, piano di o piano complesso, rappresentazione geometrica dell’insieme C dei numeri complessi. Ogni numero complesso z può, per definizione, essere scritto nella forma z = x + iy, in cui x e y sono numeri reali (detti rispettivamente parte reale e parte immaginaria di z) e i rappresenta l’unità immaginaria, tale cioè che i 2 = −1. Ogni numero complesso può dunque essere pensato come una coppia ordinata di numeri reali, che possono costituire le coordinate di un punto in un riferimento cartesiano del piano o, che è lo stesso, possono essere considerati l’estremo di un vettore del piano applicato nell’origine degli assi. In tale modo l’insieme C dei numeri complessi è identificato con lo spazio vettoriale reale R2 = R × R, prodotto cartesiano di due coppie della retta reale R. Secondo tale corrispondenza, in particolare, il numero complesso 1 = 1 + i 0 è identificato con il vettore di componenti [1, 0], mentre l’unità immaginaria i = 0 + i1 è identificata con il vettore [0, 1]. Il sottospazio unidimensionale generato in R2, sotto questa identificazione, dal vettore [1, 0] (corrispondente all’insieme dei numeri complessi della forma z = x + i 0, con x numero reale) è detto asse reale, mentre quello generato dal vettore [0, 1] (corrispondente all’insieme dei numeri complessi della forma z = 0 + iy con y numero reale) è detto asse immaginario.
Un modo equivalente per descrivere il piano di Argand-Gauss si ottiene utilizzando le coordinate polari di un numero complesso: ciò corrisponde a descrivere i vettori del piano reale R2 assegnandone il modulo ρ e l’argomento θ, definito come l’angolo formato con il semiasse reale.
Il piano di Argand-Gauss permette di dare un’interpretazione geometrica dei numeri complessi e della loro struttura algebrica: la somma tra numeri complessi corrisponde, infatti, alla somma tra vettori, mentre il prodotto tra numeri complessi può essere espresso mediante le coordinate polari, dove il modulo del prodotto è il prodotto dei moduli e l’argomento del prodotto è la somma degli argomenti. In particolare, la moltiplicazione di un numero complesso z per i è interpretabile come rotazione di un angolo retto (in verso antiorario) del vettore rappresentato da z.