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pivot

Enciclopedia della Matematica (2013)
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pivot


pivot in algebra lineare, e soprattutto nelle applicazioni della matematica all’economia relative alla programmazione lineare che coinvolgono trasformazioni di matrici, è l’elemento di volta in volta utilizzato come valore di riferimento per raggiungere l’obiettivo desiderato. Data una matrice m × n, è possibile trasformarla in matrice a scalini mediante un procedimento iterativo (→ Gauss-Seidel, metodo di), effettuando successive operazioni sulle righe, facendo appunto uso del pivot, che rappresenta di volta in volta l’elemento di riferimento per la trasformazione. Data una matrice con elemento a11 ≠ 0, questo stesso elemento diventa il primo pivot per fare in modo che tutti gli elementi della colonna a esso sottostanti diventino nulli. Gli altri pivot sono via via individuati come gli elementi che stanno sulla diagonale principale. In generale, per annullare tutti gli elementi della colonna sottostanti un pivot akk, si effettua la seguente operazione, valida per ogni i > j:

formula

In pratica, a tutti gli elementi di una riga i si sostituiscono i rispettivi elementi individuati dalla combinazione lineare sopra descritta, rispetto alla riga contenente il pivot. Se per esempio si ha il sistema di equazioni

formula

e quindi la corrispondente matrice:

formula

per rendere nulli gli elementi della prima colonna, tranne il primo, si fa riferimento all’elemento a11, che diventa il pivot e si operano le seguenti operazioni tra righe:

• r[2] ← r[2] − r[1] ⋅ 3

• r[3] ← r[3] − r[1]

La matrice del sistema è ora trasformata nella seguente:

formula

Il pivot diventa ora l’elemento a22 e si effettua la sostituzione:

formula

La matrice del sistema è ora la seguente:

formula

Risolvendo il sistema equivalente

formula

si ha la soluzione

formula

Tag
  • PROGRAMMAZIONE LINEARE
  • COMBINAZIONE LINEARE
  • MATRICE A SCALINI
  • ALGEBRA LINEARE
  • MATEMATICA
Vocabolario
pivot
pivot 〈pivó〉 s. m., fr. [propr. «perno», voce di origine incerta]. – 1. Giocatore di una squadra di pallacanestro, di solito molto alto, intorno al quale ruota il gioco di attacco di tutta la squadra e che assume essenzialmente il compito...
pivotante
pivotante agg. [dal fr. pivotant, part. pres. di pivoter «girare intorno a un perno (verticale)», der. di pivot «perno»]. – Nella tecnica, di organo che può essere orientato liberamente in tutte le direzioni girando intorno a un asse verticale...
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