polinomi ortogonali

polinomi ortogonali

polinomi ortogonali denominazione di diverse famiglie di polinomi unite da numerose caratteristiche comuni, che ne consentono una descrizione unificata. Se una famiglia {p_n(x), n ∈ N} è formata da polinomi di grado n che soddisfano la condizione

dove δ_nm è il simbolo di → Kronecker e h_n una costante, si dice che tali polinomi sono ortogonali rispetto al peso w(x) nell’intervallo [a, b]; tale intervallo può essere anche illimitato. Il peso w(x), almeno nei casi cosiddetti classici, è una funzione continua misurabile e maggiore o uguale a 0 in [a, b], purché l’integrale su [a, b] sia positivo. La costante di normalizzazione h_n può essere sempre posta uguale a 1 (si parla allora di polinomi ortonormali), ma tale scelta non è usuale nei polinomi classici.

Tra le proprietà di una famiglia di polinomi ortogonali si ricordano le seguenti:

• gli zeri di p_n(x) sono tutti semplici e cadono all’interno di [a, b];

• tra due zeri successivi di p_n(x) cade uno (e uno solo) zero di p_n+1(x);

• tre polinomi consecutivi sono legati da una relazione di ricorrenza della forma

• vale la cosiddetta formula di Christoffel-Darboux, dal nome del matematico tedesco E.B. Christoffel e del francese J.G. Darboux:

dove k_n è il coefficiente di xⁿ in p_n(x). Per y → x se ne ottiene la formula

• ogni funzione ƒ(x) ∈ L²_w(x)(a, b) può essere sviluppata in serie di Fourier rispetto alla corrispondente famiglia di polinomi ortogonali. È cioè:

• i polinomi ortogonali classici soddisfano un’equazione differenziale lineare del secondo ordine della forma A(x)y″ + B(x)y′ + λ_ny = 0;

• vale per essi la cosiddetta formula di Rodrigues, dal nome del banchiere e matematico francese, nonché riformatore sociale, B.O. Rodrigues che la elaborò nel 1816:

nella quale X(x) è un polinomio al più di secondo grado è K_n è una costante;

• una funzione generatrice per una famiglia di polinomi è una funzione F(z) che ammette lo sviluppo di Maclaurin

Le prime e principali applicazioni dei polinomi ortogonali sono nel campo delle equazioni differenziali alle derivate parziali, quando per separazione delle variabili si ottengono le equazioni lineari che li descrivono e quindi i corrispondenti sviluppi di Fourier.

Altre importanti applicazioni si hanno nella integrazione numerica, sussistendo le formule di quadratura gaussiana

dove x_i sono gli zeri del polinomio p_n(x) e

sono opportune costanti. L’errore E_n ha la forma

essendo ξ un opportuno valore appartenente all’intervallo (a, b).

Le più importanti famiglie di polinomi ortogonali sono casi particolari della funzione ipergeometrica o della funzione ipergeometrica confluente, e sono:

• i polinomi di → Jacobi P_n^{(α, β)}(x), con α, β > −1, corrispondenti al peso w(x) = (1 − x)^α(1 + x)^β nell’intervallo [−1, 1];

• i polinomi di → Laguerre generalizzati L_n^(α)(x), con α > −1, ortogonali in [0, +∞) rispetto al peso e^−xx^α;

• i polinomi di → Hermite H_n(x), ortogonali in (−∞, +∞) rispetto al peso

Tra questi polinomi, specificando i parametri, si ottengono famiglie particolarmente importanti:

• i polinomi ultrasferici o di Gegenbauer:

dove Γ è la funzione di → Eulero;

• i polinomi sferici o di → Legendre:

• i polinomi di → Čebyšëv di prima specie

e di seconda specie

• i polinomi di → Laguerre:

Tra le loro applicazioni sono degne di nota:

• lo studio dell’equazione di → Laplace in coordinate sferiche, per i polinomi di Legendre;

• lo studio dell’equazione di → Schrödinger per l’atomo idrogenoide, per i polinomi di Laguerre generalizzati;

• l’interpolazione di minimo errore, per i polinomi di Čebyšëv di prima specie. Essa si basa sulla proprietà T_n(cosθ) = cos(nθ), per cui |T_n(x)| ≤ 1, ottimale per i polinomi aventi lo stesso grado e lo stesso coefficiente direttore;

• le formule di quadratura gaussiana, dette appunto di Gauss-Legendre, Gauss-Laguerre, Gauss-Hermite, per tali polinomi.

Numerosissime sono le formule che coinvolgono queste famiglie; per quelle di ricorrenza, le funzioni generatrici e le formule di Rodrigues si rimanda alle Tavole dei polinomi ortogonali.