polinomi ortogonali

polinomi ortogonali

Si consideri lo spazio vettoriale ℙ_n dei polinomi algebrici di grado minore o uguale a n e sia w:(a,b)→ℝ una funzione peso, ovvero una funzione non negativa e assolutamente continua nell’intervallo aperto (a,b). Il sistema di polinomi {φ_k(x)}ⁿ_k=0, con φ_k∈ℙ_n, è detto ortogonale rispetto al peso w se

per k≠m. Qualora si considerino a=−1,b=1 e w(x)≡1 si ottiene la famiglia dei polinomi ortogonali di Legendre così definita:

per k≥0. Essa soddisfa la seguente relazione ricorsiva a tre termini:

per k≥1. Se invece, sempre sull’intervallo [−1, 1] si considera la funzione peso w(x)= =(1−x²)^−1/2, si ottiene la famiglia dei polinomi di Chebyshev T_k(x)=cos(kθ), con θ=arccos x, per k≥0 che soddisfa la relazione ricorsiva a tre termini T₀(x)≡1, T₁(x)=x, T_k+1(x)=2xT_k(x)−T_k−1(x) per k≥1. I polinomi precedentemente introdotti appartengono a una famiglia più ampia costituita dai polinomi di Jacobi {J_k^α,β(x)}ⁿ_k=0, ortogonali rispetto al peso w(x)=(1−x)^α(1−x)^β, per α,β>−1. Le basi di polinomi ortogonali vengono ampiamente utilizzate nell’ambito dell’approssimazione di funzioni e nella generazione di formule di quadratura di tipo interpolatorio altamente accurate.

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