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polinomi ortogonali

di Alfio Quarteroni - Enciclopedia della Scienza e della Tecnica (2008)
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polinomi ortogonali

Alfio Quarteroni

Si consideri lo spazio vettoriale ℙn dei polinomi algebrici di grado minore o uguale a n e sia w:(a,b)→ℝ una funzione peso, ovvero una funzione non negativa e assolutamente continua nell’intervallo aperto (a,b). Il sistema di polinomi {φk(x)}nk=0, con φk∈ℙn, è detto ortogonale rispetto al peso w se

formula

per k≠m. Qualora si considerino a=−1,b=1 e w(x)≡1 si ottiene la famiglia dei polinomi ortogonali di Legendre così definita:

formula

per k≥0. Essa soddisfa la seguente relazione ricorsiva a tre termini:

formula

per k≥1. Se invece, sempre sull’intervallo [−1, 1] si considera la funzione peso w(x)= =(1−x2)−1/2, si ottiene la famiglia dei polinomi di Chebyshev Tk(x)=cos(kθ), con θ=arccos x, per k≥0 che soddisfa la relazione ricorsiva a tre termini T0(x)≡1, T1(x)=x, Tk+1(x)=2xTk(x)−Tk−1(x) per k≥1. I polinomi precedentemente introdotti appartengono a una famiglia più ampia costituita dai polinomi di Jacobi {Jkα,β(x)}nk=0, ortogonali rispetto al peso w(x)=(1−x)α(1−x)β, per α,β>−1. Le basi di polinomi ortogonali vengono ampiamente utilizzate nell’ambito dell’approssimazione di funzioni e nella generazione di formule di quadratura di tipo interpolatorio altamente accurate.

→ Computazionali, metodi

Vedi anche
Pafnutij L´vovič Čebyšev Matematico (Okatovo, Kaluga, 1821 - Pietroburgo 1894). Dal 1847 professore all'univ. di Pietroburgo, membro di numerose accademie e società scientifiche. Ha dato contributi essenziali in molti campi della matematica introducendo anche nuovi metodi di indagine: in analisi matematica con ricerche fondamentali ... applicazione Matematica Il concetto di a. è una generalizzazione del concetto classico di funzione (➔ corrispondenza). Si parla di a. di un insieme P in un insieme Q, quando tra i due si stabilisce una corrispondenza del tipo seguente: a ogni elemento di P corrisponde un ben determinato elemento di Q, mentre un elemento ... algebra Uno dei rami fondamentali delle scienze matematiche: in senso lato l’a. studia le operazioni, definite in un insieme, che godono di proprietà analoghe a quelle delle ordinarie operazioni dell’aritmetica. Con significato specifico è sinonimo di sistema ipercomplesso. La parola al-giabr è usata per la ... Gabor Szegő Matematico ungherese (Kunhegyes 1895 - Stanford 1985), prof. all'univ. di Königsberg (1926-34) e dal 1938 all'univ. di Stanford. Ha dato importanti contributi all'analisi funzionale e allo studio dei polinomî ortogonali. Tra le opere: Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis (in collab. con G. Polya, ...
Categorie
  • ANALISI MATEMATICA in Matematica
Tag
  • POLINOMI DI CHEBYSHEV
  • POLINOMI DI JACOBI
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  • ALFIO QUARTERONI
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Vocabolario
polinòmio
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ortogonale
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