polinomio minimo

polinomio minimo

polinomio minimo in algebra, particolare polinomio che si riferisce a un elemento algebrico α appartenente alla estensione L di un campo K. Il polinomio minimo di α su K è il polinomio monico a coefficienti in K di grado minimo tra quelli di cui α è uno zero. Esso è unico ed è irriducibile in K[x]. Ogni altro polinomio a coefficienti in K annullato da α è un multiplo del polinomio minimo di α su K: in modo equivalente, l’insieme I costituito dai polinomi in K[x] di cui α è uno zero è un ideale principale generato dal polinomio minimo di α su K. Similmente, se A è una matrice quadrata a coefficienti in un campo K, si dice polinomio minimo di A il polinomio monico di grado minimo annullato da A. Come per il caso di un elemento algebrico, esso è il generatore dell’ideale di K[x] costituito dai polinomi che si annullano in A. Dal teorema di → Hamilton-Cayley, che stabilisce che ogni matrice annulla il proprio polinomio caratteristico, segue che il polinomio minimo di una matrice divide il suo polinomio caratteristico.