politopo

politopo

polìtopo [Comp. di poli- e del gr. tópos "luogo"] [ALG] Estensione allo spazio euclideo En a n>3 dimensioni della nozione di poligono nel piano e di poliedro nello spazio ordinario a 3 dimensioni; si tratta di un ente astratto (non rappresentabile graficamente), definibile sommariamente come la parte di En limitata da un certo numero f>n+1 di iperpiani detti facce, che determinano un certo numero v di vertici e s di spigoli; si classificano in base a tali numeri. ◆ [ALG] P. regolari: sono i p. convessi nei quali tutti gli spigoli sono uguali, tutte le facce piane sono poligoni regolari uguali, le facce 3-dimensionali sono poliedri regolari uguali e così via. In ogni p. regolare P esiste una sfera (detta sfera circoscritta al p.) che contiene tutti i vertici di P, come pure esiste una sfera tangente a tutti gli spigoli di P, un'altra tangente a tutte le facce 2-dimensionali, ecc., fino a una sfera tangente alle facce (n-1)-dimensionali (sfera inscritta al p.): tutte queste sfere sono concentriche, hanno raggi decrescenti e toccano le facce di P nei rispettivi baricentri. A ogni p. regolare P si può associare il cosiddetto p. duale P∗: si tratta del p. che ha come vertici i centri delle facce (n-1)-dimensionali di P, per spigoli i segmenti che congiungono non tutte le coppie di vertici di P ma solo quelle che sono baricentri di due facce (n-1)-dimensionali di P che si intersecano in una faccia (n-2)-dimensionale di P, e così via. Nel caso del piano euclideo E₂, ogni poligono è duale di sé stesso, mentre nello spazio ordinario E₃ è duale di sé stesso il solo tetraedro regolare, il cubo e l'ottoedro sono duali l'uno dell'altro, e così il dodecaedro e l'icosaedro. Mentre nel piano E₂ esistono poligoni regolari con un qualsivoglia numero di lati, in En (n≥3) sono possibili, per solito, solo tre tipi di p. regolari: (a) il simplesso regolare (analogo al triangolo equilatero e al tetraedro regolare), che ha n+1 vertici e per lati i segmenti individuati da ciascuna coppia di vertici; (b) l'ipercubo (analogo al quadrato e al cubo) che ha per ogni vertice n spigoli a due a due ortogonali; (c) il p. a croce, analogo del quadrato e dell'ottaedro, che ha come vertici 2n punti collocati su n rette passanti per un medesimo punto O, a due a due ortogonali e alla medesima distanza da O (figura che ricorda una croce).