predicato

predicato

predicato in logica, espressione di una proprietà o di una relazione relativa a una o più costanti o variabili che ne costituiscono gli argomenti. I predicati traducono in espressioni simboliche alcune affermazioni del linguaggio naturale. Per esempio, indicando con il simbolo P(x, y) (si legge «P di x e y») la relazione binaria «x è il padre di y» e con le costanti c e m i nomi propri Carlo e Marco, l’espressione P(c, m) è un predicato e corrisponde alla frase «Carlo è il padre di Marco». La forma P(x, y) dell’esempio costituisce un predicato atomico, cioè la forma predicativa più semplice che si possa costruire; la lettera P indica una relazione che si riferisce a due argomenti, rispettivamente le variabili x e y, ed è pertanto detto predicato binario. Nel linguaggio dei predicati un predicato è rappresentato da una lettera predicativa, mentre si dice anche forma predicativa una formula ben formata che contenga lettere predicative. Esistono predicati con un solo argomento, cioè proprietà individuali, quali «x è un numero dispari», che può essere rappresentata come D(x), oppure con un numero di argomenti maggiore di due. Un esempio di predicato a tre argomenti è «x è compreso fra y e z» riferito a tre punti x, y e z di una retta, rappresentabile come C(x, y, z), avendo attribuito l’opportuno significato al simbolo C. Il numero di argomenti di un predicato viene detto arità del predicato stesso; un predicato con n argomenti viene detto predicato ennario. Gli argomenti di un predicato possono essere variabili, costanti oppure simboli di funzione applicati a variabili e a costanti. Per esempio se il simbolo di funzione Q indica l’elevamento al quadrato di un numero (Q(x) = x ²) e G(x, y) il predicato binario «x è maggiore o uguale a y», la forma predicativa G(Q(x), 0) corrisponde alla frase «x ² è maggiore o uguale a 0». Nella usuale simbologia matematica tale frase è espressa dalla formula x ² ≥ 0 dove il simbolo ≥ corrisponde al predicato «essere maggiore o uguale a»: una scrittura come x ≥ 0 è detta notazione infissa perché il simbolo di predicazione compare fra i due argomenti x e 0; in alternativa alla notazione infissa è possibile utilizzare la notazione prefissa, in cui il simbolo predicativo è premesso agli argomenti a cui si riferisce (esempio: ≥ x 0), e la notazione postfissa in cui il simbolo predicativo è scritto dopo gli argomenti a cui si riferisce (esempio: x 0 ≥). Il linguaggio dei predicati usa generalmente la notazione prefissa come nel predicato G(x, y).

A partire dalle forme predicative elementari o atomiche (formula atomica) si possono costruire forme più complesse utilizzando connettivi e quantificatori. Proprio per la loro struttura interna più complessa, per la presenza di variabili, lettere predicative e funzionali, quantificatori, i predicati differiscono in maniera sostanziale dagli enunciati: mentre è possibile attribuire un valore di verità a ogni enunciato, ciò non avviene per i predicati. Per esempio la forma predicativa ∀x(x ≥ 0) (si legge «per ogni x, x è maggiore o uguale a 0») è vera se x rappresenta un numero naturale mentre è falsa se x rappresenta un numero negativo; il valore di verità di un predicato dipende dall’insieme in cui sono interpretate le sue variabili, ossia dal dominio di interpretazione.

In una forma predicativa è possibile sostituire un quantificatore esistenziale con un quantificatore universale e viceversa, operando opportunamente con il connettivo negazione. In generale, è sempre possibile riscrivere una forma predicativa in una forma logicamente equivalente che però abbia come primi simboli tutti i quantificatori: tale forma è detta forma normale prenessa. Una forma predicativa si dice in forma normale prenessa se è del tipo Q₁x₁ Q₂ x₂ …Q_nx_n A dove Q₁x₁, Q₂ x₂, …, Q_nx_n sono quantificatori universali o esistenziali e A è una formula ben formata del linguaggio dei predicati. Per esempio, la formula ∀x∃y(A(x) ⇒ B(x, y)) è una forma predicativa in forma normale prenessa. È possibile dimostrare che esiste una procedura effettiva, ossia un algoritmo, per trasformare ogni formula ben formata del linguaggio dei predicati in una formula a essa equivalente in forma normale prenessa.