primo ordine, condizioni del

primo ordine, condizioni del

Condizioni necessarie che devono essere soddisfatte da ogni soluzione di un problema di ottimizzazione (➔ ), ossia in ogni punto di massimo o di minimo. Esse sono valide se esiste la funzione derivata della funzione obiettivo, da massimizzare o minimizzare, ed eventualmente di tutte le funzioni che determinano i vincoli del problema di ottimizzazione. Nel caso di un ottimo non vincolato, esse affermano semplicemente che la derivata della funzione obiettivo (rispetto a ogni variabile) si annulla nel punto di massimo o di minimo. Nel caso di un ottimo vincolato, invece, le condizioni del p. o. corrispondono a quelle applicate alla funzione lagrangiana (➔ lagrangiano), se i vincoli sono di uguaglianza, e più in generale alle cosiddette condizioni di Kuhn-Tucker (➔ Kuhn-Tucker, condizioni di), in presenza di vincoli di disuguaglianza. Un punto che soddisfa le condizioni del p. o. si dice anche punto critico, perché candidato a essere una soluzione del problema di ottimo.

Le condizioni del secondo ordine

Se inoltre esistono anche le derivate seconde delle funzioni (definite come funzioni derivate delle funzioni derivate), allora sono anche specificate le condizioni del secondo o., sufficienti per determinare una soluzione del problema: un punto critico è un punto di ottimo se valgono anche le condizioni del secondo ordine. In particolare, nel caso di un ottimo non vincolato, le condizioni del secondo o. affermano che un punto in cui la derivata (prima) è nulla è un massimo relativo se la derivata seconda è negativa, ovvero un minimo relativo se la derivata seconda è positiva. Nel caso di una funzione di più variabili, questo risultato si estende all’analisi dell’hessiano (➔) della funzione (la matrice di tutte le derivate seconde), che deve essere definito negativo per un massimo, ovvero definito positivo per un minimo. La prima proprietà caratterizza una funzione (strettamente) concava, la seconda una funzione (strettamente) convessa. Le condizioni del secondo o. possono allora essere generalizzate assai convenientemente nel seguente modo: un punto critico è un massimo globale di una funzione concava e un minimo globale di una funzione convessa. Ciò vale anche per un problema di ottimo vincolato, se i vincoli costituiscono un insieme convesso. In particolare, l’analisi precedente si estende all’hessiano orlato, ossia con l’aggiunta delle derivate prime  del vincolo (nel caso di un solo vincolo) e più in generale a quello della funzione lagrangiana (comprendente i vincoli soddisfatti con l’uguaglianza nel punto critico): se esso è definito negativo, il punto è di massimo, e viceversa.

Applicazioni

Nella teoria economica, le condizioni del p. o. trovano un’amplissima gamma di applicazioni, perché offrono una caratterizzazione molto conveniente della soluzione dei problemi di scelta ottima degli agenti o di allocazione efficiente delle risorse. Un caso esemplare è costituito dall’analisi della relazione tra equilibrio competitivo e allocazione migliore nel senso di Pareto, definita in modo formale dai teoremi del benessere (➔ benessere, teoremi dell’economia del). In un equilibrio competitivo, le famiglie scelgono in modo ottimale il livello di consumo di un paniere di beni per massimizzare la propria utilità, e le imprese decidono che quantità produrne allo scopo di massimizzare i profitti.

Nel problema del consumatore, sotto l’ipotesi che la funzione di utilità sia concava (o che le preferenze siano convesse), e, dato il vincolo (lineare) di bilancio, sono sempre soddisfatte le condizioni del secondo o. e dunque quelle del p. o. sono necessarie e sufficienti per un massimo globale; esse affermano che, in tale punto, il saggio marginale di sostituzione tra due beni, quali che siano, è pari al rapporto fra i rispettivi prezzi e quindi è anche uguale per tutti i consumatori.

In termini simili, se la funzione di produzione è concava (ossia sotto il vincolo di un insieme di produzione convesso), le condizioni del p. o. risolvono anche il problema dell’impresa; la soluzione è tale che, per ogni azienda, il tasso marginale di trasformazione tra qualunque coppia di beni prodotti deve essere anch’esso uguale al rapporto tra i rispettivi prezzi, e quindi uguale al tasso marginale di sostituzione dei consumatori.

Questa caratterizzazione è identica a quella ottenuta per la soluzione del problema di allocazione ottima nel senso di Pareto, che può essere formulato come quello di un pianificatore centrale che vuole massimizzare una somma delle utilità di tutti i consumatori (una funzione di benessere sociale) sotto il vincolo delle risorse economiche e della tecnologia di produzione. Di conseguenza, con queste ipotesi sulle preferenze degli agenti e sulla tecnologia produttiva, l’analisi delle condizioni del p. e del secondo o. fornisce una dimostrazione e una interpretazione intuitiva dei teoremi del benessere, che assicurano l’equivalenza sul piano allocativo tra equilibrio competitivo ed efficienza paretiana.