comprensione, principio di

comprensione, principio di

comprensione, principio di uno dei principi cardine della teoria ingenua degli insiemi (→ insiemi, teoria degli). Fu enunciato da G. Frege nel 1879 nell’opera Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (Ideografia, un linguaggio in formule del pensiero puro a imitazione di quello aritmetico). Esso afferma che è possibile formare un insieme come aggregato di tutti e soli gli oggetti che godano di una data proprietà. In base a tale principio è legittimo considerare come insiemi: l’insieme dei numeri multipli di 3, l’insieme dei poligoni con sette lati, l’insieme di tutti gli uomini con gli occhi azzurri ecc. Nel 1902 B. Russell mostrò che il principio di comprensione contiene in sé una contraddizione e comunicò a Frege, in una lettera, il suo risultato, la cosiddetta antinomia di Russell, che minava alle basi la teoria da quest’ultimo sviluppata. La contraddizione consiste nell’esistenza di un insieme con caratteristiche singolari. Per rilevarla si suddividono gli insiemi, costruiti secondo il principio di comprensione, in due categorie:

• insiemi che contengono sé stessi come elementi’: per esempio «l’insieme di tutti i concetti astratti» è a sua volta un concetto astratto e quindi contiene sé stesso come elemento;

• insiemi che non contengono sé stessi come elementi’: per esempio «l’insieme dei triangoli» non è un triangolo perciò non ha sé stesso come elemento.

Si considera quindi l’insieme A di tutti gli insiemi che non contengono sé stessi come elementi e si pone il seguente problema: l’insieme A contiene o non contiene sé stesso? Entrambe le risposte a questa domanda portano a una contraddizione, infatti:

• se A contiene sé stesso come elemento, allora, per come A è definito, è uno degli insiemi che non contengono sé stessi come elementi, quindi non contiene sé stesso;

• se A non contiene sé stesso come elemento, allora non è uno degli insiemi che non contengono sé stessi, quindi contiene sé stesso come elemento.

Tale contraddizione (o antinomia), dovuta all’autoreferenzialità del ragionamento seguito, in quanto impedisce di basare la matematica su basi logiche coerenti, ha contribuito in maniera decisiva alla crisi dei fondamenti della matematica. Per risolvere l’incoerenza insita nella teoria ingenua degli insiemi, si è resa necessaria una ridefinizione della teoria con una limitazione del principio di comprensione; tale compito è stato assolto dalle teorie assiomatiche degli insiemi come per esempio la teoria fondata sugli assiomi di → Zermelo-Fraenkel.