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problema ben posto

Enciclopedia della Matematica (2013)
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problema ben posto


problema ben posto nozione formulata da J. Hadamard aggiungendo alle usuali richieste di esistenza e unicità della soluzione quella di dipendenza continua dai dati. Per precisare questa nozione è necessario scegliere un quadro funzionale in cui ambientare il problema. Si deve cioè scegliere uno spazio X (genericamente, uno spazio vettoriale topologico) in cui ambientare le soluzioni, e uno spazio D in cui assegnare i dati del problema. Si dice allora che un problema è ben posto se valgono le condizioni:

1) per ogni dato d ∈ D esiste una e una sola soluzione x ∈ X;

2) la soluzione dipende con continuità dal dato, cioè se d′ → d (nel senso della topologia di D) la corrispondente soluzione x′ → x (nel senso di X).

Se D e X sono spazi di Banach, la dipendenza continua si scrive ‖x′ − x‖X → 0 per ‖d′ − d ‖D → 0. Ciò avviene per esempio se vale una condizione di Lipschitz ‖x′ − x″‖X ≤ c ‖d′ − d″‖D, dove x′ e x″ sono le soluzioni corrispondenti ai dati d′ e d″. Se manca la dipendenza continua, nessuno schema di approssimazione può essere utilizzato per valutare la soluzione, anche qualora ne sia garantita esistenza e unicità: infatti a un piccolo errore sui dati, corrispondente a una loro (buona) approssimazione, corrisponde un errore nella soluzione che non può essere controllato. Per esempio, il problema di Dirichlet u = g su ∂Ω per l’equazione di Laplace Δu = 0 in un dominio Ω a frontiera ∂Ω lipschitziana è ben posto se si sceglie X = C0(Ω̅), D = C0(∂Ω), con le norme del massimo. La norma del massimo in uno spazio X = C0(T) con T chiuso e limitato, incluso in Rn, è data da

formula

In questo caso T è Ω̅ e la soluzione del problema esiste e il principio del massimo (→ funzione subarmonica) garantisce che risulti ‖u′ − u‖X ≤ ‖g′ − g‖D. Invece il problema di Cauchy non è ben posto per la stessa equazione: per esempio, se si considera il semipiano y ≥ 0, al dato g = u(x, 0) = (sinnx)/n corrisponde la soluzione u(x, y) = (sinnx ⋅ sinhny)/n. Per n → ∞, il dato tende a 0 nella norma del massimo, mentre la soluzione non converge in alcuno spazio topologico. Viene dunque a mancare la dipendenza continua.

Nel caso di problemi dell’algebra lineare la nozione è legata all’indice di condizionamento del problema (→ algoritmo, stabilità di un).

Tag
  • SPAZIO VETTORIALE TOPOLOGICO
  • CONDIZIONE DI LIPSCHITZ
  • PRINCIPIO DEL MASSIMO
  • PROBLEMA DI DIRICHLET
  • EQUAZIONE DI LAPLACE
Vocabolario
problèma
problema problèma s. m. [dal lat. problema -ătis «questione proposta», gr. πρόβλημα -ατος, der. di προβάλλω «mettere avanti, proporre»] (pl. -i). – 1. Ogni quesito di cui si richieda ad altri o a sé stessi la soluzione, partendo di solito...
pósto²
posto2 pósto2 s. m. [lat. pŏsĭtus, part. pass. di pōnĕre «porre»: v. la voce prec.]. – 1. In senso generico, spazio o porzione di spazio disponibile per essere occupato da persone o da cose: il mondo è grande e c’è tanto p.; nella sala...
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