Dirichlet, problema di
Dirichlet, problema di
Dirichlet, problema di per un’equazione differenziale alle derivate parziali consiste nel cercare una soluzione definita in un insieme Ω, che sulla frontiera ∂Ω assuma assegnati valori g, cioè coincida con una funzione assegnata. Il problema di Dirichlet interessa le equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo ellittico, ed è un problema ben posto in particolare per l’equazione di Laplace in condizioni molto generali (per esempio con un insieme Ω limitato con frontiera lipschitziana e dato g continuo). In combinazione con il problema di Cauchy si applica anche alle equazioni di evoluzione: per esempio, per l’equazione del calore si cerca la distribuzione della temperatura u(x, y, z, t) in un dominio Ω ⊂ R3 al variare del tempo t, data la sua distribuzione iniziale u(x, y, z, 0) in tutto Ω (dato di Cauchy) e sulla frontiera ∂Ω per ogni t (dato di Dirichlet) (→ Neumann, problema di).