Neumann, problema di

Neumann, problema di

Neumann, problema di così denominato in omaggio al fisico-matematico prussiano C.G. Neumann, consiste nell’assegnare la derivata normale della funzione incognita u sulla frontiera ∂Ω di un dominio Ω in cui si cerca la soluzione di una equazione differenziale alle derivate parziali. In termini fisici, ciò significa assegnare, in ogni punto, il flusso del vettore gradu attraverso ∂Ω. Questo problema si incontra nella teoria delle equazioni di tipo ellittico e la sua risolubilità dipende in genere da una condizione di compatibilità del dato, che si deduce dalle formule di → Green. Per esempio, nel caso del campo elettrostatico, il flusso globale uscente deve essere uguale alla carica totale contenuta in Ω. Se l’equazione è lineare, come nel caso dell’equazione di → Laplace o di → Poisson, le soluzioni sono definite a meno di una costante. Nel caso di equazioni di tipo parabolico, come l’equazione del calore, il problema di Neumann si assegna, per ogni tempo t, sulla frontiera ∂Ω del dominio spaziale Ω e non vi sono restrizioni in quanto il flusso di calore entrante in eccesso corrisponde a un accumulo di energia termica nel dominio.