problema ristretto dei tre corpi

problema ristretto dei tre corpi

Versione semplificata del problema dei tre corpi, ossia del problema della determinazione del moto di tre masse (di grandezza analoga) ­soggette alla sola reciproca forza gravitazionale. Nel problema ristretto uno dei tre corpi è supposto avere invece massa trascurabile e si concentra l’attenzione sul moto di quest’ultimo nel campo di forze generato dagli altri due. È importante osservare che tale campo è dipendente dal tempo in quanto le altre due masse graviteranno l’una intorno all’altra. Se la meccanica celeste, ovvero la determinazione dei movimenti dei pianeti, ha sempre costituito uno dei più importanti stimoli allo sviluppo della meccanica analitica e in particolare hamiltoniana, il problema dei tre corpi e la sua forma ‘ristretta’ rappresentano il più importante caso non banale in questo campo. La determinazione delle traiettorie di due masse reciprocamente attratte dalla sola forza gravitazionale non presenta infatti particolari difficoltà e il sistema è completamente integrabile. È stato Jules-Henri Poincaré (nell’ambito dei suoi profondi studi sui sistemi dinamici a cavallo tra Ottocento e Novecento) a provare il primo importante risultato sul problema dei tre corpi: le uniche grandezze meccaniche conservate in tale sistema sono l’energia, il momento e il momento angolare totali, quantità come è noto costanti in qualunque sistema isolato. Questo significa che il problema non è integrabile, ossia non è possibile determinare un’espressione esatta delle traiettorie del sistema in termini dei dati del problema stesso. E questo nonostante l’esistenza di tali soluzioni sia garantita da teoremi generali sulle equazioni differenziali. Più o meno nello stesso periodo, veniva chiarito che il problema ristretto presentava le stesse difficoltà generali e che il suo studio, naturalmente più semplice, avrebbe quindi potuto aiutare a chiarire la natura del problema originario. Trovare una sua soluzione significa determinare il moto del corpo di massa trascurabile poiché le due masse rimanenti formano un sistema di due corpi, completamente integrabile come già osservato. Del problema ristretto dei tre corpi sono comunque ben note alcune soluzioni particolari, corrispondenti a specifiche situazioni geometriche. Particolarmente importanti a riguardo sono i casi nei quali: (a) il corpo di massa trascurabile è supposto giacere sul piano delle orbite degli altri due; (b) il corpo di massa trascurabile si muove su una retta perpendicolare a tale piano.

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