Ornstein-Uhlenbeck, processi di
Ornstein-Uhlenbeck, processi di
Processi aleatori di notevole importanza in finanza. Introdotti dai due matematici L.S. Ornstein e G.E. Uhlenbeck, sono anche noti come processi con ritorno verso la media (mean reverting), perché la variabile aleatoria xt, il cui comportamento è descritto da un processo di O.-U., tende a ritornare verso un livello di equilibrio di lungo periodo. Formalmente, un processo di O.-U. è descritto da una equazione differenziale stocastica (➔ equazione) del tipo dx=a(m−xt)dt+sdW, dove dW è il differenziale di un processo di Wiener standard e a, m, s sono costanti (o funzioni non aleatorie del tempo) positive. Intuitivamente, l’equazione scompone l’incremento algebrico dx (della variabile aleatoria x in un intervallino infinitesimo di tempo dt) in una parte certa, a(m−xt)dt, e in una aleatoria, sdW. Quest’ultima ha distribuzione normale con media 0 e varianza s2dt; l’altra spinge (richiama) x verso il valore m con intensità di richiamo determinata dal valore di a. Data la condizione iniziale x(0)=x0, risulta che xt ha distribuzione normale con valore atteso x0exp(−at)+ m (1−exp(−at)) e varianza (s2/2a)(1−exp(−2at)). Il valore atteso è media ponderata (con pesi di somma 1) del valore iniziale e del livello di equilibrio di lungo periodo. Il peso del valore iniziale decresce esponenzialmente (tendendo a 0) al crescere di t. Nelle applicazioni finanziarie i processi di O.-U. sono utilizzati per modellare i movimenti del tasso di interesse a breve. Pioniere di questa impostazione fu O.A. Vasicek.