Eulero, prodotto di

Enciclopedia della Matematica (2013)

Eulero, prodotto di


Eulero, prodotto di prodotto infinito esteso a tutti i numeri primi {pi}

formula

che Eulero dimostrò essere uguale a una particolare somma di serie (identità di Eulero)

formula

dove s è un numero reale maggiore o uguale a 1 e {pi} indica la successione dei numeri primi. Eulero se ne servì per dimostrare l’infinità dei numeri primi; infatti, se s = 1 il primo membro dell’uguaglianza rappresenta la serie armonica, che è divergente: anche il secondo membro diverge e, dovendo essere infinito il prodotto, risulta che i numeri primi sono in numero infinito. L’identità sussiste anche nel caso in cui s è un numero complesso con la parte reale maggiore di 1 e condusse B. Riemann allo studio della funzione

formula

nota come funzione zeta di → Riemann. L’andamento della funzione zeta è quindi strettamente legato alla distribuzione dei numeri primi: pertanto, la dimostrazione della validità dell’ipotesi di → Riemann sulla distribuzione degli zeri complessi della funzione zeta avrebbe forti ripercussioni sulla possibilità di individuare forme di regolarità nella distribuzione dei numeri primi.

Vedi anche
Bernhard Riemann Matematico tedesco (Breselenz, Hannover, 1826 - Selasca, presso Intra, 1866). Autore di fondamentali lavori, seppur non numerosi, che hanno aperto diversi campi di ricerca nella matematica moderna. In particolare nell'ambito dell' analisi, dei numeri primi e della geometria. Vita Avviato dal padre agli ... Leonhard Euler {{{1}}} Matematico, fisico e filosofo naturale (Basilea 1707 - Pietroburgo 1783). Sono poche le aree della matematica e della fisica contemporanee a cui E. non dette un importante contributo. La sua energia inesauribile e le sue capacità di matematizzazione lo resero forse il più significativo tra gli ... sommatoria Simbolo operatorio che permette di indicare in modo conciso la somma di più addendi muniti di indice; il simbolo di s. è un sigma maiuscolo (Ʃ) accompagnato da un indice variabile in un certo intervallo o in un certo insieme: per es., ∑4i=1 xi (che si legge: somma di xi per i che va da 1 a 4) è uguale ... pi grèco Numero (simbolo π) reale, irrazionale e trascendente, che esprime il rapporto tra la lunghezza di una qualunque circonferenza e il suo diametro (π=3,1415926535...).
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Vocabolario
euleriano
euleriano agg. – Relativo al matematico svizzero L. Euler 〈òülër〉 (1707-1783), cognome di solito italianizzato in Eulèro: triangolo sferico e. (o ordinario), ogni triangolo sferico i cui lati sono tutti minori di una semicirconferenza massima;...
prodotto tradizionale
prodotto tradizionale loc. s.le m. Prodotto che nasce da un’antica tradizione, della quale rispetta i dettami; prodotto tipico di una località, di una regione o di una nazione. ◆ Tuttavia è meglio dare ai bambini un prodotto biologico che,...