prodotto semidiretto

Enciclopedia della Matematica (2013)

prodotto semidiretto nozione che generalizza quella di → prodotto diretto tra gruppi. Dati due gruppi G₁ e G₂ e un omomorfismo φ: G₂ → Aut(G₁), il prodotto semidiretto di G₁ per G₂ (nell’ordine) rispetto a φ è il gruppo

il cui sostegno è il prodotto cartesiano dei sostegni G₁ × G₂ e il cui prodotto è definito mediante φ come segue:

dove φ_g(b) indica il corrispondente di b nell’automorfismo di G₁ associato all’elemento g di G₂.

Per esempio, ogni gruppo diedrale D_n è isomorfo al prodotto semidiretto Z_n ⋊ _φZ₂ in cui φ₀ è l’identità su Z_n e φ₁ fa corrispondere a ogni elemento di Z_n il suo inverso. Nel caso in cui φ_g è l’omomorfismo identità per ogni g, allora il prodotto semidiretto coincide con il prodotto diretto G₁ × G₂.

In modo equivalente, dati un gruppo G e due suoi sottogruppi G₁ e G₂, con G₁ sottogruppo normale, allora si scrive G = G₁ ⋊ G₂ e si dice che G è prodotto semidiretto di G₁ per G₂ (nell’ordine) se sono verificate le seguenti condizioni:

• G₁G₂ = G

• G₁ ∪ G₂ = {e}

dove G₁G₂ è il sottoinsieme di G costituito dagli elementi che si scrivono come prodotto (nell’ordine) di un elemento di G₁ per un elemento di G₂ ed e indica l’elemento neutro di G. Se in aggiunta ogni elemento di G₁ commuta con ogni elemento di G₂, allora G è isomorfo al prodotto diretto G₁ × G₂.

Le due nozioni date di prodotto semidiretto sono equivalenti tra loro. Se infatti G = G₁ ⋊ G₂ è prodotto semidiretto di due suoi sottogruppi G₁ e G₂ e se φ: G₂ → Aut(G₁) è l’omomorfismo definito da φ_g(a) = gag⁻¹ (dove g appartiene a G₂ e a appartiene a G₁), allora G è isomorfo al prodotto semidiretto G₁ ⋊ _φG₂, dove l’automorfismo φ_g è ben definito come automorfismo di G₁ grazie alla normalità di G₁. Viceversa, se sono dati due gruppi G₁ e G₂ e un omomorfismo φ: G₂ → Aut(G₁), allora G₁ e G₂ si immergono canonicamente nel prodotto semidiretto G₁ ⋊ G₂: mentre l’insieme degli elementi della forma (a, e₂) costituisce un sottogruppo normale isomorfo a G₁, l’insieme degli elementi della forma (e₁, g) forma un sottogruppo isomorfo a G₂, dove e₁ ed e₂ sono rispettivamente l’elemento neutro di G₁ e di G₂. Allora, rispetto a tali immersioni, G₁ ⋊ _ϕG₂ è isomorfo al prodotto semidiretto G₁ ⋊ G₂.