PRODUZIONE

PRODUZIONE

(XXVIII, p. 298)

Funzione della produzione. - Nell'impostazione marginalista o neoclassica si è sviluppata una teoria dell'equilibrio economico fondata sulla funzione della produzione; recentemente (Jorgenson 1986) la funzione della p. è stata riformulata partendo dalle equazioni di domanda, per gli input, e di offerta, per gli output. Nell'impostazione neoclassica si suppone che gli scambi, cioè la domanda di input e l'offerta di output, siano determinati in modo da massimizzare i profitti tenendo conto dei vincoli derivanti dalla funzione di p. intesa come rappresentazione delle condizioni tecnologiche del processo produttivo. La funzione di p. neoclassica descrive quindi l'insieme delle possibilità tecnologiche e può essere utilizzata unitamente a una teoria dell'impresa, che ne individua la funzione obiettivo (massimizzazione dei profitti), per definire la domanda di beni intermedi (materie prime, semilavorati, ecc.) necessari per realizzare il processo produttivo, e l'offerta dei prodotti ottenuti, in funzione delle condizioni tecnologiche descritte dalla funzione di produzione. Tali condizioni non sono ovviamente osservabili empiricamente, e ciò ha limitato, nella prima fase delle ricerche quantitative, sia l'applicabilità, sia la verificabilità della teoria economica fondata su questo concetto di p.; ma è stato successivamente dimostrato (Uzawa 1964; Shepard 1970) che partendo dai dati osservabili di domanda, offerta, costi e profitti si possono ottenere gli stessi risultati teorici e sono quindi possibili rigorose applicazioni statistiche formulate in funzione di grandezze empiricamente misurabili.

Supponendo che esistano diverse combinazioni di input ammissibili a priori per produrre una certa merce e che le scelte operate dalle imprese mirino a individuare la combinazione ottimale (che minimizza i costi di p.), la funzione di p. può assumere differenti configurazioni in relazione ad almeno tre aspetti fondamentali: a) possibilità di sostituzione fra input; b) relazioni fra produttività e scala della p.; c) ruolo della tecnologia e dei comportamenti ottimizzanti.

Una funzione molto semplice si ottiene considerando solo due input (lavoro e capitale) in forma lineare:

Q=c+aL+bK [1]

dove Q è la quantità prodotta; L è la quantità di lavoro impiegato; K è la quantità di capitale impiegato; a, b sono i parametri esprimenti, rispettivamente, la produttività del lavoro e del capitale.

Tale specificazione ipotizza l'esistenza di una generale sostituibilità degli input vincolata, solo nel rapporto di sostituzione, dalle produttività marginali che, nella funzione [1], sono pari ad a per il lavoro e b per il capitale. Pertanto, tenendo conto delle produttività marginali, se aumenta la quantità di lavoro di una unità, la quantità di capitale dovrà diminuire di a/b unità per lasciare invariata la produzione.

La condizione di equilibrio, derivata dall'assunzione di un comportamento ottimizzante delle imprese, in regime di libera concorrenza, implica che il rapporto fra i prezzi sia uguale al rapporto fra le produttività marginali:

p_L/p_K=a/b [2]

Tale condizione non pone vincoli alla sostituzione tecnologica; pertanto, nell'ipotesi che la funzione di p. sia rappresentata dalla [1], lavoro e capitale possono essere impiegati in qualsiasi quantità per realizzare il volume di p. richiesto, e il rapporto fra le quantità di lavoro e di capitale sarà modificato liberamente dagli agenti economici (imprenditori) ogni qualvolta cambiano i prezzi relativi. La funzione di p. lineare è a rendimenti di scala costanti; pertanto, in questa rappresentazione della tecnologia, un aumento nella p. comporta un aumento dei costi in misura esattamente proporzionale alla variazione della p. stessa.

Una seconda formulazione della funzione di p., molto diffusa anche nelle applicazioni statistiche, è la Cobb Douglas, detta anche funzione log-lineare, poiché è espressa dalla relazione:

Q=cL^aK^b [3]

che può essere linearizzata nei logaritmi:

logQ=logc+alogL+blogK [4]

La produttività marginale del lavoro, in questo caso, risulta:

dQ/dL=A(Q_o/L_o) [5]

e quella del capitale:

dQ/dK=b(Q_o/K_o) [6]

da cui risulta evidente che in questa diversa rappresentazione della tecnologia, la produttività marginale degli input non risulta costante per i diversi livelli di attività produttiva, ma dipende dal volume della produzione. Cioè essa dipende dal punto della funzione in cui si calcola la derivata parziale che definisce e misura la produttività marginale di ciascun input.

La combinazione fra lavoro e capitale che assicura la minimizzazione dei costi, cioè la condizione di equilibrio, in questo caso è definita dalla relazione

p_L/p_K=[a(Q_o/L_o)]/[b(Q_o/K_o)]=aK_o/bL_o [7]

Deviazioni da tale condizione di equilibrio comportano corrispondenti modificazioni della combinazione di lavoro e di capitale impiegata nella produzione. Se il prezzo di mercato del lavoro aumenta e risulta superiore a quello di equilibrio si verificherà, secondo questo modello, una riduzione degli impieghi di lavoro, per aumentare la produttività marginale di tale input, fino al punto in cui l'aumento della produttività raggiunge il punto in cui è nuovamente soddisfatta la condizione di equilibrio (in situazione di libera concorrenza) al nuovo livello del costo del lavoro.

Per quanto concerne i rendimenti di scala, questi possono essere costanti, crescenti o decrescenti, poiché dipendono dai valori assunti dai parametri a e b nella funzione di p. Cobb Douglas [3].

Se (a+b)=1, allora un incremento o una diminuzione degli input modifica proporzionalmente l'output e si hanno quindi rendimenti costanti di scala. Infatti, consideriamo un livello di p. base Q_o con impiego di lavoro ad L_o e di capitale pari a K_o:

Q_o=cL^a_o K^b_o [8]

e supponiamo di aumentare la p. incrementando proporzionalmente le quantità di lavoro e capitale impiegati, cioè moltiplichiamo per un valore n qualsiasi i due input; la nuova produzione Q₁ si ottiene sostituendo i nuovi valori delle quantità impiegate nella funzione di p.:

Q₁=c(nL_o)^a(nK_o)^b=n^(a+b)cL^a_oK^b_o =ncL^a_oK^b_o=nQ_o [9]

da cui risulta evidente che l'aumento della p. è proporzionale a quello degli input.

Se invece (a+b)>1, allora risulterà

Q₁>nQ_o [10]

cioè si avranno rendimenti di scala crescenti.

Infine, se (a+b)〈1, risulterà:

Q₁〈nQ_o [11]

cioè si avranno rendimenti di scala decrescenti.

Un'altra funzione di p. molto importante è detta ''a proporzioni fisse'' o ''con fattori limitazionali'' ed è definita dalla relazione:

Q=c[min(L/a, K/b)] [12]

in cui c è ancora una costante che indica la produttività del sistema, mentre a e b sono i parametri della funzione che indicano le proporzioni in cui i due fattori devono essere combinati.

Questa funzione ipotizza che gli input non siano sostituibili fra loro in modo assoluto e senza eccezioni. Se uno dei due viene aumentato non si riduce il fabbisogno dell'altro, poiché in questa ipotesi tecnologica, se non vengono conservate le proporzioni, l'aumento degli input genera solo inefficienza. In particolare, l'aumento di un solo input lascia la produzione immutata e, viceversa, la riduzione dell'input di una sola merce riduce la p. complessiva in misura proporzionale. La quantità ottenuta dal processo produttivo è infatti data dal prodotto di c per il più piccolo dei due rapporti in parentesi (L/a, K/b). Il cambiamento dei prezzi, con questa funzione di p., non ha alcuna influenza sull'impiego dei fattori, poiché la misura in cui devono essere combinati gli input necessari per la p. dipende solo dai vincoli tecnologici e non dai comportamenti ottimizzanti.

In termini più generali, la tecnologia può essere rappresentata da una funzione di produzione (F) che esprime l'output (Q) in relazione a un vettore degli input (x):

Q=F(x) [13]

in cui:

x=(x₁ x₂...x_i...x_n)

Le condizioni di equilibrio dei produttori, nell'ipotesi di mercati competitivi, dipendono dai cosiddetti coefficienti input-output espressi in valori che riassumono i rapporti fisico-tecnici (impieghi/p.) e il prezzo relativo dell'input considerato rispetto all'output:

a_i=p_i x_i/pQ(i=1, 2,..., n) [14]

dove p_i è il prezzo dell'input, i e p è il prezzo dell'output.

Tali condizioni di equilibrio sono infatti definite dall'eguaglianza fra la quota di ciascun input e l'elasticità della corrispondente domanda d'impiego intermedio, per un determinato output, cioè per ogni merce prodotta dev'essere soddisfatto l'insieme di n relazioni:

in cui a=(a₁ a₂ ... a_n) è il vettore di n elementi e d indica il differenziale dell'espressione di seguito indicata.

Nel caso in cui la F è a rendimenti di scala costanti, il valore dell'output è dato dalla somma dei valori degli input ed esiste quindi una funzione di prezzo (H) del produttore, duale rispetto alla funzione di p., che dipende dai prezzi di tutti gli input:

p=H(p₁ p₂ ... p_n)

che fornisce una descrizione della tecnologia equivalente a quella fornita dalla F.

Nel caso di rendimenti crescenti le condizioni di equilibrio possono invece essere formulate con riferimento alla funzione di costo (C), supponendo dato il livello dell'output (Q):

c=C(p,Q) [16]

in cui:

In tal caso, ammesse particolari proprietà (positività, omogeneità di grado 1 nei prezzi degli input, monotonicità, concavità e differenziabilità) della funzione di costo C, le condizioni di equilibrio del produttore:

possono essere espresse con riferimento alla funzione di costo, poiché in tal caso i coefficienti tecnici a_i possono essere definiti con riferimento alla funzione di costo e sono misurati dall'elasticità di tale funzione rispetto ai prezzi:

Questa formulazione è di particolare interesse nelle applicazioni econometriche, poiché attraverso specificazioni ''flessibili'' della forma funzionale della funzione di costo (Christensen, Jorgenson, Lau 1973) consente la verifica statistica delle effettive caratteristiche empiriche dei processi produttivi indagati.

Bibl.: L. Walras, Eléments d'économie politique pure, Losanna 1874; J.R. Hicks, R.G.D. Allen, A reconsideration of the theory of value, in Economica, 1934, pp. 52-76; H. Uzawa, Duality principles in the theory of cost and production, in International Economic Review, 1964; G. Gaburro Funzione di produzione a rendimenti crescenti tendenti all'omogeneità lineare, Padova 1968; R.W. Shephard, Theory of cost and production function, Princeton 1970; L.R. Christensen, D.W. Jorgenson, L.J. Lau, Trascendental logaritmic production frontiers, in Review of Economics and Statistics, 1973, pp. 28-45; S. Zamagni, Analisi delle attività e teoria della produzione, Parma 1976; M. Fuss, D. Mc Fadden, Production economics: a dual approach to theory and applications, Amsterdam 1978; L. Pasinetti, Lezioni di teoria della produzione, Bologna 1981; D.W. Jorgenson, Econometric methods for modelling producer behavior, in Handbook of Econometrics, 3, a cura di Z. Griliches e M.D. Intriligator, Amsterdam 1986; J. Hirschleifer, Price theory and applications, Englewood Cliffs 1988⁴; H.R. Varian, Microeconomic analysis, New York 1991³.