prolungamento
prolungamento
prolungamento di una funzione ƒ(x) è una funzione g(x) avente un dominio più esteso di ƒ(x) e coincidente con essa sul dominio di ƒ. La nozione vale sia nel caso di una variabile sia nel caso di più variabili. Il prolungamento può essere fatto in più modi, ma usualmente si richiedono delle condizioni suppletive (per esempio la continuità o la derivabilità della funzione g) che limitano le possibilità di prolungamento.
Alcuni casi tipici in una variabile sono i seguenti:
• il prolungamento pari di una funzione ƒ(x) definita in (un sottoinsieme di) [0, +∞) si ottiene ponendo ƒ(−x) = ƒ(x), ∀x ∈ Dom(ƒ );
• il prolungamento dispari di una funzione ƒ(x) definita in (un sottoinsieme di) [0, +∞) si ottiene ponendo ƒ(−x) = −ƒ(x), ∀x ∈ Dom(ƒ );
• il prolungamento periodico di una funzione ƒ(x) definita in [a, a + T) si ottiene ponendo ƒ(x + nT) = ƒ(x), ∀x ∈ [a, a + T) e ∀n ∈ Z;
• il prolungamento a R di una funzione definita sui razionali e continua su Q. Tipicamente, un modo di definire la potenza a base a positiva ed esponente reale x è quello di definire dapprima le potenze apIq e quindi di estendere (univocamente, per continuità) tale funzione ad ax.
Un altro caso importante è quello del prolungamento analitico: una funzione analitica definita come somma di una serie di potenze può essere prolungata in uno e un solo modo al di fuori del cerchio di convergenza (con il cosìddetto metodo di Weierstrass; → funzione analitica). Fanno eccezione le serie lacunari (→ lacuna). In generale, una funzione analitica è determinata quando è data su una linea (basta un insieme infinito di punti avente punto di accumulazione appartenente al dominio di olomorfia della funzione) e quindi può essere prolungata in un solo modo. Per esempio, esiste un unico prolungamento analitico della funzione esponenziale e di quelle goniometriche: una volta date sull’asse reale, esse sono definite in tutto il piano complesso. Nel caso di più variabili, i problemi si fanno più delicati, e sovente il prolungamento non è possibile senza opportune ipotesi. Per esempio, la funzione u = ρsin(θ/2) è continua nell’aperto Ω = {(ρ, θ): ρ < 1, −π < θ < π} formato da un cerchio privato del raggio θ = π, ma non può essere prolungata per continuità a Ω̅ in quanto si ha che per θ → π−, u tende a ρ, mentre per θ → −π+, u tende a −ρ.