ADDITIVA, PROPRIETÀ

ADDITIVA, PROPRIETÀ

. Si designa con questo nome una proprietà di funzioni dipendenti da un insieme di punti relativa all'addizione di questi.

Così, p. es., si dice che la lunghezza di un arco di curva è una funzione additiva di questo, perché essendo a b, b c due archi consecutivi si ha

lung. a c = lung. a b + lung. b c.

Similmente l'area delle superfici (piane o curve) e il volume dei solidi sono funzioni additive rispettivamente delle superfici e dei solidi.

Un esempio più generale di funzione additiva di un arco di linea ci viene offerto dal peso di questo arco quando la linea si supponga materializzata. Qui è importante osservare che archi di lunghezza uguale non hanno necessariamente pesi uguali e quindi il peso non è una funzione della lunghezza qualora la densità della materia si supponga distribuita sulla linea in modo non uniforme.

Da questi esempî si può risalire alla seguente definizione generale: si consideri una funzione f(G) che sia definita per ogni insieme di punti di una certa classe entro cui sia possibile la somma (concepita come semplice operazione logica di riunione); si dice che f gode della proprietà additiva quando

f (G + G′) = f (G) + f (G′)

La proprietà additiva delle funzioni di insieme trova riscontro nella proprietà distributiva (v.) delle funzioni di numero

f (x + y) = f (x) + f (y)

che (almeno nelle ordinarie ipotesi di continuità) è caratteristica' delle funzioni lineari f (x) = k x. Qui ha luogo l'osservazione che una funzione distributiva della variabile numerica x si può interpretare come una funzione additiva del segmento rettilineo di misura x, ma si tratta di una funzione additiva particolare che assume lo stesso valore per segmenti uguali così da risultare funzione della lunghezza, anzi addirittura proporzionale alla lunghezza.

In modo analogo, una funzione di superficie che assuma lo stesso valore per superfici uguali (o equivalenti) risulta funzione dell'area, e quindi, se gode della proprietà additiva, si riduce all'area stessa moltiplicata per una costante. Appunto sul fondamento di una tale osservazione si può concludere a priori che l'area di un poligono sferico di n lati (archi di circolo massimo) è proporzionale all'eccesso sferico cioè alla differenza fra la somma degli angoli interni e 2 n − 4 angoli retti, poiché si verifica che quest'eccesso è una funzione additiva dei poligoni, che assume valori uguali per poligoni uguali e quindi anche per poligoni equivalenti.

Ora, ritornando agli insiemi lineari, rileviamo esplicitamente che ogni funzione additiva si può interpretare come una massa distribuita in modo opportuno sopra la linea. Quindi se la distribuzione soddisfa a certe condizioni di continuità in guisa che in ogni punto x della linea risulti una densità ρ (x), di cui la massa m si presenti come l'integrale, la nostra funzione additiva considerata per l'intervallo a b si esprimerà analiticamente come

Reciprocamente ogni integrale di questo tipo è una funzione additiva dell'intervallo d'integrazione, poiché è

(e gode anche della proprietà distributiva rispetto alla funzione sotto il segno).

Le condizioni di continuità sopra accennate sono necessarie perché la funzione additiva ammetta l'espressione analitica indicata, altrimenti bisogna ricorrere all'integrale di Stieltjes.

La considerazione delle funzioni additive di insieme ricorre già sostanzialmente in Cauchy che le chiama quantità coesistenti.

Ma codesta considerazione ha assunto maggiore importanza attraverso gli sviluppi critici dell'analisi infinitesimale moderna e specialmente nella teoria della misura degli insiemi e, d'altra parte, nella teoria generale dei funzionali.