ASSOCIATIVA, PROPRIETÀ

ASSOCIATIVA, PROPRIETÀ

. Come è ben noto, il valore di una somma di tre (o più) numeri a + b + c non si altera se, invece di sommare c alla somma parziale a + b, si calcola prima la somma b + c e questa poi si addiziona ad a; ciò si esprime anche con lo scrivere (a + b) + c = a + (b + c), e col dire che la somma gode della proprietà associaiiva. Analogamente, per il prodotto di tre (o più) numeri si ha sempre (ab)c = a(bc), e perciò anche si dice che il prodotto gode della proprietà associativa. Conseguenze di questa proprietà del prodotto sono le ben note regole per il prodotto di due potenze della stessa base a:

e per la potenza di una potenza:

Poiché queste due leggi sono conseguenza della sola proprietà associativa del prodotto ordinario, esse naturalmente si ritroveranno anche per tutte quelle operazioni, il cui prodotto goda della proprietà associativa. Così, p. es., se si considerano tutte le sostituzioni lineari sopra r variabili, o tutte le sostituzioni sopra r oggetti, e si chiama sostituzione prodotto di due altre la sostituzione ottenuta effettuando successivamente queste altre, il prodotto così definito gode della proprietà associativa, e quindi per le potenze Sⁿdi una qualunque sostituzione S valgono sempre le due leggi:

Così pure, se consideriamo le operazioni che da un numero ci fanno passare a un altro y, mediante l'applicazione di certe funzioni f, y = f (x), e si chiama operazione prodotto di più altre l'operazione ottenuta eseguendo queste successivamente, varrà ancora la proprietà associativa, e per l'operazione potenza n^esima di una data y = f (x), potenza che s'indica col simbolo y = f_n(x), [f_n(x) si chiama anche la funzione iterata n^esima di f(x)] varranno le leggi

che sono fondamentali nel cosiddetto calcolo delle iterate di una funzione data.