superficie, proprieta differenziali di una
superficie, proprieta differenziali di una
superficie, proprietà differenziali di una in geometria differenziale, proprietà locali dell’intorno di un punto di una superficie indagati con metodi differenziali. Si definisce retta tangente alla superficie in un suo punto P0 (x0, y0, z0) ogni retta tangente a una qualche curva regolare tracciata sulla superficie, passante per P0 (→ tangente). In un punto esistono ∞1 rette tangenti che formano un cono tangente che, nei punti ordinari, si riduce a un piano detto piano tangente alla superficie (per la sua equazione nelle diverse forme si veda il lemma → piano tangente). L’intersezione tra il piano tangente e la superficie è una curva che ha nel punto di tangenza un → punto doppio. Un punto nel quale il piano tangente è indeterminato è un punto singolare della superficie.
Due superfici sono tangenti in un punto se in tale punto hanno lo stesso piano tangente.
In un punto semplice P di una superficie le tangenti che hanno con essa un contatto almeno del secondo ordine sono dette tangenti asintotiche: sono in generale due e a seconda che esse siano reali distinte, reali e coincidenti o complesse coniugate il punto P è detto iperbolico, parabolico o ellittico. Può anche accadere che tutte le tangenti in P siano asintotiche e, in tal caso, l’intorno del secondo ordine del punto è detto calotta inflessionale. Due tangenti che si corrispondono nella involuzione che ha per elementi uniti le due tangenti asintotiche sono dette tangenti coniugate.
La normale a una superficie in un suo punto è la perpendicolare al piano tangente in quel punto.
La curvatura normale di una superficie, in un punto e lungo la direzione indotta da una giacitura, è la curvatura della curva che giace sul piano perpendicolare al piano tangente nel punto alla superficie e ha quella determinata giacitura. Il massimo e il minimo valore delle curvature normali in un punto sono le curvature principali della superficie in quel punto (→ curvatura). La loro somma è la curvatura media, il loro prodotto è curvatura totale (o curvatura gaussiana) della superficie in quel punto (→ Theorema Egregium). La semisomma delle curvature principali elevate al quadrato è riportata a volte come curvatura di Casorati.
Sono dette tangenti principali in un punto le tangenti, tra loro perpendicolari, che insieme alla normale alla superficie individuano le due sezioni piane che tra le sezioni normali in quel punto hanno rispettivamente curvatura massima e minima.
Una superficie è intrinsecamente caratterizzata, cioè a meno di una isometria, dal punto di vista differenziale da due forme, espressioni quadratiche nei differenziali dette → forme quadratiche fondamentali: la prima dà il quadrato della distanza di due punti infinitamente vicini e individua la metrica della superficie; dalla seconda si ricavano le curvature principali della superficie (→ geometria differenziale).
Lo studio delle proprietà intrinseche delle superfici, che possono essere determinate prescindendo da ogni riferimento allo spazio ambiente (per es., la lunghezza delle curve tracciate su di esse, la curvatura totale) costituisce l’oggetto di un settore della geometria differenziale ampiamente sviluppato soprattutto in relazione alla teoria della relatività.