DISTRIBUTIVA, PROPRIETÀ

DISTRIBUTIVA, PROPRIETÀ

. È noto che per moltiplicare una somma di due (o più) addendi per un numero, basta moltiplicare per quel numero ciascuno degli addendi e poi sommare i prodotti parziali così ottenuti; cioè, rappresentando i numeri con lettere, si ha l'identità

Ciò si esprime, dicendo che la moltiplicazione gode della proprietà distributiva rispetto all'addizione. Questa proprietà è, in un certo senso, caratteristica della moltiplicazione. Se si cerca quali funzioni a un sol valore f(x) rendano soddisfatta l'equazione funzionale

basta supporre che la f (x) sia continua per concludere che essa è necessariamente il prodotto cx della variabile x per un numero (arbitrario) c.

Il Darboux ha fatto vedere (in Mathematische Annalen, XVII, 1880, p. 155) che, quando si ammettano i postulati che permettono di determinare i punti di una retta per mezzo di una coordinata (cartesiana o proiettiva), la dimostrazione analitica del teorema fondamentale della geometria proiettiva (esistenza e unicità della proiettività fra due rette, che fa corrispondere due terne di punti, prefissate ad arbitrio) porta appunto a considerare l'equazione funzionale (1); e, precisamente, la dimostrazione di unicità, in cui risiede l'essenza della questione, si riduce a mostrare che la sola funzione a un valore nell'insieme di tutti i numeri reali, non dovunque infinita, la quale renda soddisfatta la (1) e, in più, la

è la x stessa.

La proprietà distributiva si mantiene valida per la moltiplicazione in tutti i possibili sistemi di numeri a più unità, in particolare per la moltiplicazione, tanto interna quanto esterna, dei vettori.

Fra le operazioni funzionali (cioè fra le operazioni, che, applicate a una funzione, dànno come risultato una nuova funzione) furono chiamate distributive da S. Pincherle, che ne elaborò una teoria (v. Mathematische Annalen, XLIX, 1897, p. 325; Le operazioni distributive e le loro applicazioni all'Analisi, in collab. con U. Amaldi, Bologna 1901), quelle che, per ogni coppia di funzioni ϕ, ψ, cui esse siano applicabili, godono della proprietà espressa dall'identità

Tali sono, ad es., la derivazione, la differenza finita, tutte le combinazioni lineari, a coefficienti funzionali quali si vogliano, di derivazioni fino a un ordine qualsiasi, ecc. Oggi le operazioni funzionali distributive si dicono anche "funzionali lineari" (v. funzionali).