potenze, proprieta formali delle

potenze, proprieta formali delle

potenze, proprietà formali delle proprietà che caratterizzano l’operazione di elevazione a potenza, indipendentemente dall’insieme numerico cui appartengono base o esponente:

• il prodotto (rispettivamente il quoziente) di due potenze aventi la stessa base è uguale a una potenza avente ancora la stessa base e come esponente la somma (rispettivamente la differenza) dei due esponenti; in simboli: a^m ⋅ aⁿ = a^m+n e a^m : aⁿ = a^m−n;

• la potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti; in simboli: (a^m)ⁿ = a^mn;

• il prodotto di due potenze aventi gli stessi esponenti è uguale a una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente; in simboli: aⁿ ⋅ bⁿ = (ab)ⁿ;

• il quoziente di una potenza per un’altra diversa da 0, aventi entrambe lo stesso esponente, è uguale a una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente; in simboli: aⁿ : bⁿ = (a /b)ⁿ, con b ≠ 0.

Tali proprietà giustificano le seguenti definizioni (per a ≠ 0):

• a⁰ = 1, infatti aⁿ : aⁿ = 1 = aⁿ⁻ⁿ = a⁰

• a⁻ⁿ = (1/a)ⁿ, infatti a⁻ⁿ = a⁰⁻ⁿ = a⁰ : aⁿ = 1/aⁿ = 1ⁿ/aⁿ = (1/a)ⁿ

infatti (a^1/n)ⁿ = a^(1/n)·ⁿ =a¹ = a (per a > 0)