punti lagrangiani L4 e L5

punti lagrangiani L4 e L5

I due punti di equilibrio di due corpi orbitanti con lo stesso periodo intorno a un terzo corpo più massiccio. La meccanica celeste studia le leggi del moto dei corpi celesti sotto l’effetto della mutua interazione gravitazionale. Mentre il classico problema dei due corpi, che studia il moto di un sistema di due masse puntiformi (valido anche per oggetti reali, purché di dimensioni piccole rispetto alla loro distanza) può essere risolto per via analitica, lo studio di sistemi più complessi richiede di  norma una trattazione mediante integrazioni numeriche. In molti casi, però, anche lo studio di sistemi complessi può essere, almeno in prima approssimazione, affrontato trattando separatamente le coppie di oggetti. Per es., nel sistema Sole-Terra-Luna è possibile trattare separatamente il moto del centro di massa del sistema Terra-Luna intorno al Sole e quello della Luna intorno alla Terra. Queste semplificazioni permettono di capire molti aspetti del moto anche senza una integrazione numerica, nonché di validare i risultati di quest’ultima. In questo contesto riveste un grande interesse anche la teoria analitica parziale dei sistemi a tre corpi. Il caso più semplice è dato dal cosiddetto problema ristretto, che studia un sistema in cui un terzo corpo di massa trascurabile (e quindi non in grado di influenzare il moto degli altri) si muove nel campo gravitazionale dei due corpi maggiori, mutuamente interagenti. Una ulteriore semplificazione si ha se i due corpi massicci si muovono in orbite circolari. È particolarmente conveniente studiare il moto del terzo corpo in un sistema di riferimento centrato nel centro di massa e che ruota con la stessa velocità angolare del moto orbitale. In questo sistema di riferimento, ovviamente non inerziale, è possibile studiare analiticamente il potenziale (generalizzato, per tener conto dei termini legati alle forze apparenti) e cercarne i punti stazionari, corrispondenti a eventuali posizioni di equilibrio. Si dimostra che esistono cinque punti stazionari (detti Lagrangiani), tre dei quali sono sulla retta che congiunge le due masse maggiori. Gli altri due, sempre sul piano dell’orbita delle due masse, sono nei punti che formano con le stesse un triangolo equilatero, e vengono indicati con le sigle L4 e L5. Un caso tipico di applicazione della teoria è dato da un sistema costituito dal Sole, da un pianeta e da un corpo minore (asteroide, cometa). Visti dal Sole i punti L4 e L5 stanno sulla stessa orbita del pianeta, sfasati in avanti o all’indietro di 60 gradi. Lo studio del potenziale dimostra che questi due punti sono in un massimo, e quindi dovrebbero essere di equilibrio instabile. Tuttavia, se il rapporto di massa tra i due corpi maggiori è sufficientemente sbilanciato (cosa che nei sistemi in questione è sempre vero), le forze di Coriolis (forze apparenti tipiche di un sistema di riferimento rotante) svolgono un ruolo di richiamo, e i due punti diventano di equilibrio stabile: un corpo posto in L4 o L5 con velocità piccola oscilla in una regione intorno al punto stesso. Nel sistema di riferimento eliocentrico non rotante il corpo descrive un’orbita simile a quella del pianeta, ma sfasata. Nel caso più realistico in cui l’orbita del pianeta non è esattamente circolare il problema si complica alquanto, ma le cose non cambiano molto, almeno da un punto di vista qualitativo. Nel Sistema solare possono essere identificate queste isole di stabilità corrispondenti ai vari pianeti. Quelle di Giove sono le più estese e rilevanti, e in esse si trovano i corpi detti Troiani.

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