punto di equilibrio

punto di equilibrio

Un punto x₀∈ℝⁿ tale che x=x₀ è una soluzione costante nel tempo del sistema di equazioni differenziali ordinarie x∙=f(t,x), dove x∈ℝⁿ e t∈ℝ e il punto indica la derivata rispetto alla variabile t. La soluzione stessa è chiamata soluzione di equilibrio. Un punto x∈ℝⁿ è una soluzione di equilibrio se e solo se f(t,x)=0 per ogni t. Sia ora x=φ(t) una soluzione arbitraria del sistema di equazioni differenziali precedente. Il ­cambiamento di variabili x=φ(t)+y trasforma questa soluzione nella soluzione di equilibrio y=0 del sistema associato y∙=F(t,y), dove F(t,y)=f(t,φ(t)+y)−f(t,φ(t)). Di conseguenza, molti problemi (come per es., la teoria della stabilità delle soluzioni) possono essere ricondotti senza alcuna perdita di generalità allo studio di posizioni di equilibrio nell’origine di ℝⁿ. La soluzione di equilibrio di un sistema di equazioni differenziali ordinarie è spesso detta soluzione banale, soluzione nulla, punto stazionario o anche punto fisso. Evidentemente, la definizione fornita sopra si generalizza al caso di sistemi di equazioni differenziali su varietà differenziabili.

→ Complessità