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punto fisso, teoremi del

Dizionario di Economia e Finanza (2012)
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punto fisso, teoremi del


In matematica, un p. f. per una funzione f:A→A definita su un insieme A è un elemento x∈A tale che x=f(x). In altre parole, un p. f. è un elemento (numero, punto ecc.) che la funzione applica su sé stessa. Per es., sia f definita sull’insieme dei numeri reali come f(x)=x2−6, allora −2 è un p. f. di f, poiché f(−2)=−2. Esempi di funzioni con p. f. sono le rotazioni del piano intorno a un punto P assegnato, in cui P è l’unico p. f. della rotazione. Una riflessione del piano rispetto a una retta, in cui ogni punto della retta è un p. f. e la funzione polinomiale sui numeri reali definita da f(x)=x2−4x+6, in cui un calcolo diretto mostra che per x=2 si ha f(2)=4−8+6=2 e per x=3, f(3)=9−12+6=3. Un esempio di funzione senza p. f. è invece una rotazione della circonferenza di un angolo diverso da zero (o di un multiplo di 2π) (non ha p. f. sulla circonferenza stessa). ● Esistono numerose formulazioni del teorema del p. f.: il teorema del p. f. in geometria algebrica, in topologia, per spazi infinito-dimensionali, per funzioni d’insieme (funzioni il cui argomento è un insieme) eccetera. Quella più comune è nota con il nome di teorema di Brouwer, che può essere enunciato nel modo seguente: ogni funzione f continua definita su un disco chiuso e a valori nel disco chiuso stesso ha un p. f. (non necessariamente unico). ● Un altro importante teorema è il teorema del p. f. di Banach, anche detto teorema della contrazione. Dato uno spazio metrico (X,d) (➔ spazio matematico), una contrazione è una funzione f:X→X tale che per ogni (x,y)∈X esiste un numero 0<1 per il quale si ha che ∣f(x)−f(y)∣≤kd(x,y). Il teorema di Banach dice che se f è una contrazione su uno spazio metrico che gode di alcune proprietà di regolarità, allora f ammette un unico p. fisso. ● Il teorema del p. f. trova applicazione in economia, per es. nella dimostrazione dell’esistenza di un punto di equilibrio.

Vedi anche
contrazione fisiologia Proprietà del muscolo di accorciarsi durante il movimento; con l’accorciamento si ha un aumento di spessore del muscolo, senza variazione di volume. La contrazione avviene per effetto dell’eccitamento trasmesso dal nervo attraverso la placca motrice ma, in condizioni sperimentali, può avvenire ... circonferenza In geometria, curva piana, luogo dei punti equidistanti da un punto fisso O, detto centro della circonferenza; la superficie piana da essa racchiusa è il cerchio. La distanza costante dal centro a un punto qualsiasi della circonferenza si chiama raggio; il doppio di essa, diametro. Molte nozioni e proprietà ... rotazione In senso proprio, un intero giro compiuto dal corpo intorno a un altro corpo o intorno al proprio asse. In senso figurato, avvicendamento, uso o impiego alternato di persone, oggetti, elementi diversi, attuato secondo un determinato criterio in modo che si compia una serie di cicli chiusi. agraria Si ... convergenza antropologia Insieme di rassomiglianze e parallelismi esistenti fra elementi culturali elaborati da popolazioni differenti e lontane. Secondo la teoria della convergenza sostenuta nella seconda metà del 19° sec. da A. Bastian e R. Andree, ciò sarebbe dovuto alla fondamentale unità del pensiero umano ...
Tag
  • FUNZIONE POLINOMIALE
  • GEOMETRIA ALGEBRICA
  • SPAZIO METRICO
  • NUMERI REALI
  • MATEMATICA
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    Luca Tomassini Un punto x di un insieme X tale che F(x)=x per una determinata mappa F:X→X, ovvero di X in sé. Un tale punto si dirà anche punto fisso per F. La dimostrazione dell’esistenza di punti fissi e l’individuazione di metodi di calcolo per determinarli costituiscono problemi matematici di grande ...
Vocabolario
fisso
fisso s. m. Nelle telecomunicazioni, impianto telefonico fisso, collegato da fili. ◆ L’Authority prevedeva una diminuzione della quota del prezzo di una conversazione dal fisso al mobile del 36 per cento, da 172 a 110 lire/minuto. (Foglio,...
fisso
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