punto fisso
punto fisso
Un punto x di un insieme X tale che F(x)=x per una determinata mappa F:X→X, ovvero di X in sé. Un tale punto si dirà anche punto fisso per F. La dimostrazione dell’esistenza di punti fissi e l’individuazione di metodi di calcolo per determinarli costituiscono problemi matematici di grande importanza, poiché la soluzione di una qualunque equazione f(x)=0 si riduce (riscrivendola nella forma x±f(x)=x) alla ricerca di un punto fisso della mappa F=I±f, dove I indica l’applicazione identica I(x)=x. In corrispondenza di differenti strutture sull’insieme X o proprietà della mappa F esistono vari teoremi (o principi) di punto fisso. Non sorprendentemente, il caso di maggiore interesse è quello in cui X è uno spazio topologico e F è continua in un senso specifico. Il più semplice, ma non per questo meno importante, tra i teoremi di punto fisso è il cosiddetto principio delle contrazioni. Siano X uno spazio metrico completo con metrica ϱ e F:X→X un operatore (detto contrazione) tale che ϱ(F(x),F(y))≤qϱ(x,y) con 0〈q〈1. Allora F ha un unico punto fisso x−, che può essere ottenuto come limite di approssimazioni successive xn=F(xn−1) (con n=0,1,...), dove x0 è arbitrario (e appartenente a X). Come si può vedere, tale risultato non soltanto asserisce l’esistenza del punto fisso, ma indica anche una concreta procedura per individuarlo e consente persino di valutare la velocità della convergenza della successione xn al punto x−. Il principio delle contrazioni ammette una lunga serie di generalizzazioni o adattamenti ed è largamente utilizzato nella ricerca di soluzioni di equazioni algebriche, differenziali e integrali. In particolare, è grazie a esso che si provano esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie. Un altro esempio importantissimo e di sorprendente generalità è costituito dal teorema di punto fisso di Brouwer. In questo caso X è un disco (o un qualunque sottoinsieme chiuso e limitato del piano) e per la mappa F è richiesta la semplice continuità.
→ Equazioni differenziali: problemi non lineari