quadrica

quadrica

quàdrica [Der. dell'agg. quadrico, der. di quadro, attraverso la locuz. superficie quadrica] [ALG] Superficie algebrica del secondo ordine, cioè luogo geometrico dei punti dello spazio le cui coordinate soddisfano a un'equazione algebrica di secondo grado, cioè un'equazione che, in coordinate cartesiane, è del tipo a₁x2 + a₂y2 + a₃z2 + 2a₁xy + 2a₁xz + 2a₂yz + 2a₁x + 2a₂y + 2a₃z + a₄ = 0. Si hanno q. reali se i coefficienti ars di tale equazione sono numeri reali. Dei 10 coefficienti, soltanto 9 sono essenziali, cosicché le q. costituiscono un sistema lineare ∞9 e per 9 punti in posizione generica passa una sola quadrica o, viceversa, 9 punti non allineati e non complanari identificano una quadrica. Esistono soltanto cinque tipi di q. (reali) dotate di punti reali e non degeneri: le q. a punti ellittici, e cioè l'ellissoide reale, l'iperboloide a due falde, il paraboloide ellittico, e le q. a punti iperbolici, e cioè l'iperboloide a una falda, il paraboloide iperbolico (o a sella). Dei 5 tipi solo il 4° e il 5° contengono rette reali; esse costituiscono due sistemi ∞1 di rette in modo che per ogni punto di una tale q. passa una retta di ogni sistema; esse si chiamano perciò q. rigate. Le proprietà metriche di una q. sono quelle che restano immutate quando si sottoponga la q. a un qualsiasi movimento. Ricordiamo i principali enti geometrici relativi a una q. e aventi carattere metrico: (a) asse è ogni diametro perpendicolare al piano diametrale coniugato: quest'ultimo prende il nome di piano principale della quadrica; (b) vertici sono i punti comuni alla q. e a un suo asse; (c) coniche principali sono le coniche sezioni della q. con i piani principali. Le q. a centro, cioè gli ellissoidi e gli iperboloidi, hanno tre assi e tre piani principali, mutuamente perpendicolari; i vertici sono sei nell'ellissoide, quattro nell'iperboloide a una falda e due nell'iperboloide ellittico; il paraboloide ha invece un solo asse, un solo vertice e due piani principali. Sono q. degeneri una coppia di piani aventi una retta in comune e un piano contato due volte; intersecando le q. con un piano si ottengono le coniche. ◆ [ALG] Q. osculatrice: a una superficie S in un suo punto p è la q. Q che ha in P lo stesso piano tangente di S e tale che le intersezioni di Q e F con qualunque piano passante per P sono due curve che si osculano in P. ◆ [ALG] Q. rotonda: una q. che sia al tempo stesso una superficie di rotazione. In ogni caso il meridiano è una conica e uno dei suoi assi è l'asse di rotazione della q.: un'ellisse dà luogo a un ellissoide, una parabola a un paraboloide ellittico, un'iperbole a un iperboloide ellittico o iperbolico a seconda che la rotazione avvenga attorno all'asse trasverso o a quello non trasverso, mentre un paraboloide iperbolico non è mai una q. rotonda.