QUADRILATERO articolato

QUADRILATERO articolato

Il quadrilatero articolato è una catena cinematica costituita da quattro membri rigidi collegati a due a due mediante coppie rotoidali (perni di articolazione). Ǵli assi dei rotoidi possono essere fra loro paralleli (quadrilatero articolato piano) oppure concorrenti in un punto (quadrilatero articolato sferico).

Il quadrilatero articolato piano si può pensare realizzato, nel modo più semplice, mediante quattro aste a, b, c, d, collegate a cerniera nei punti estremi A, B, C, D (fig. 1). Se si suppone di tenere fisso uno dei membri, per es. l'asta d, la catena dà origine ad un meccanismo, nel quale i due membri a e c, contigui a quello fisso, sono dotati di moto rotatorio attorno ai centri A e D, ed assumono allora la denominazione di manovelle o di bilancieri, secondo che si tratta di moto rotatorio progressivo o alternato. Il membro b, opposto al membro fisso, è dotato di un moto più complesso, caratterizzato dalla condizione che due suoi punti B e C si spostano sopra due circonferenze distinte, non concentriche; a questo membro si assegna la denominazione di biella.

Se, per una posizione generica del meccanismo, indichiamo con ω_a e ω_c le velocità angolari istantanee dei membri rotanti a e c, e con S indichiamo il punto d'intersezione della retta dei centri AD con l'asse della biella BC, si ricava facilmente la relazione:

la quale esprime che le velocità angolari istantanee dei due bracci rotanti stanno in rapporto inverso alle distanze del punto S dai rispettivi centri di rotazione. Si osserva inoltre che i due moti rotatorî sono di senso concorde o opposto a seconda che il punto S risulta esterno o interno al segmento AD.

Nel caso in cui uno o entrambi i bracci rotanti a e c si comportino come bilancieri (non consentendo la catena un moto rotatorio progressivo) le posizioni estreme che i bracci stessi possono assumere definiscono i punti morti del meccanismo. Le posizioni corrispondenti ai punti morti sono anche caratterizzate dalla condizione che la biella b si trova sovrapposta o allineata con uno dei bracci rotanti a o c. Il punto S va allora a coincidere con D o con A e il rapporto ω_a/ω_c diventa nullo o infinito.

Il numero dei punti morti esistenti, e in generale le caratteristiche cinematiche dei meccanismi che si possono ricavare da un dato quadrilatero (considerato come catena cinematica), dipendono essenzialmente dalla lunghezza relativa dei varî lati.

Lasciando da parte per ora il caso di quadrilateri aventi due o più lati di uguale lunghezza, indichiamo genericamente con a₁, a₂, a₃, a₄ le lunghezze dei lati di un quadrilatero articolato, considerate in ordine crescente, e cioè tali che sia:

Queste quattro lunghezze dovranno necessariamente soddisfare la condizione:

Si osserva inoltre che per la formazione di un quadrilatero, mediante i quattro segmenti di lunghezza a₁, a₂, a₃, a₄, sono possibili tre disposizioni differenti, cioè (fig. 2):

Indipendentemente da ciò, si dice poi che il quadrilatero è di prima specie, se è verificata la condizione:

e invece di seconda specie, se è verificata la condizione:

Ciò posto, considerando la natura dei moti relativi di due membri contigui della catena, si dimostrano le seguenti proprietà (Grashof): 1. in un quadrilatero di prima specie i moti relativi di due membri contigui sono tutti necessariamente moti rotatorî alterni; 2. in un quadrilatero di seconda specie i moti relativi del lato più corto (a₁) rispetto all'uno o all'altro dei due lati ad esso contigui sono moti rotatorî progressivi, mentre invece i moti relativi di ciascuna delle altre due coppie di lati contigui sono rotatorî alterni.

Ne segue allora: 1. da un quadrilatero di prima specie, qualunque sia il lato che si assume come membro fisso, si ricava sempre un meccanismo nel quale i membri rotanti sono bilancieri (fig. 3). A questo meccanismo si dà il nome di doppio bilanciere di prima specie; 2. da un quadrilatero di seconda specie si ricavano invece tre meccanismi distinti, cioè: a) tenendo fisso il lato più corto, si ha un meccanismo detto doppia-manovella, nel quale i lati rotanti sono due manovelle (fig. 4); b) tenendo fisso uno dei lati contigui al lato più corto, si ha il meccanismo manovella-bilanciere, nel quale il lato più corto è una manovella, mentre il lato opposto è un bilanciere (fig. 5); c) tenendo fisso il lato opposto al lato più corto si ha il doppio bilanciere di seconda specie, nel quale i due membri rotanti sono bilancieri (fig. 6).

Le figure 3, 4, 5, 6 rappresentano i suddetti meccanismi, oltre che in una posizione generica, nelle posizioni corrispondenti ai punti morti, sempre nell'ipotesi che la disposizione dei lati sia (a₁ a₃ a₂ a₄) cioè quella della fig. 2 III. Le caratteristiche cinematiche essenziali non muterebbero sostanzialmente assumendo una delle altre due disposizioni possibili.

Come casi limiti dei meccanismi precedenti si possono considerare quelli costituiti da quadrilateri aventi due o più lati di uguale lunghezza. Fra questi sono particolarmente importanti i meccanismi generati da un quadrilatero avente i lati opposti a due a due uguali, cioè, riferendosi ancora alla disposizione (a₁ a₃ a₂ a₄) tali che:

Si hanno allora due configurazioni possibili del quadrilatero, e cioè quella del parallelogramma articolato (lati opposti paralleli) e quella dell'antiparallelogramma articolato (quadrilatero intrecciato). Nel caso del parallelogramma (fig. 7), qualunque sia il lato che si considera come membro fisso, le due aste contigue ad esso risultano dotate di moti rotatorî con velocità angolari uguali.

Si hanno poi due punti morti, caratterizzati dalla condizione che tutte le tre aste mobili si trovino allineate sulla retta dei centri. L'esistenza di questi punti morti non impedisce però che le aste rotanti possano agire come manovelle, cioè compiere moti rotatorî progressivi.

Tuttavia è da notare che in corrispondenza ai punti morti può anche avvenire il passaggio dalla configurazione propria del parallelogramma a quella dell'antiparallelogramma.

Nel caso dell'antiparallelogramma (figg. 8, 9) avendo indicato con a la lunghezza dei lati più corti, con b quella dei lati più lunghi, si dimostra facilmente: 1. che le polari del moto relativo delle aste corte sono due ellissi uguali, aventi i fuochi nei punti estremi delle aste stesse e l'asse maggiore di lunghezza b; 2. che le polari del moto relativo delle aste lunghe sono due iperboli uguali, aventi i fuochi negli estremi delle aste stesse e l'asse reale di lunghezza b. È poi evidente che da questa catena cinematica, se si suppone di tenere fissa una delle aste corte, si ottiene un meccanismo, nel quale le manovelle ruotano in senso concorde (fig. 8); se invece si suppone di tenere fissa una delle aste lunghe si ha un meccanismo nel quale le manovelle ruotano in senso opposto (fig. 9). In ogni caso il rapporto delle velocità angolari varia periodicamente e oscilla durante un giro fra un valore massimo uguale a (b + a)/(b −a) e un minimo uguale a (b − a)/(b + a).

Nelle costruzioni meccaniche il quadrilatero articolato trova molteplici applicazioni, poiché le diverse forme che esso può assumere si adattano a risolvere in modo vario il problema della trasmissione del movimento fra organi rotanti o oscillanti. Le proprietà cinematiche più caratteristiche di alcuni tipi di quadrilateri articolati sono poi state sfruttate per la realizzazione di meccanismi o apparecchi destinati a scopi speciali (per es., guide articolate, pantografo, ecc.). Infine il quadrilatero articolato entra nella costituzione di molti meccanismi composti, quasi sempre in combinazione con altre catene cinematiche, che si possono pensare derivate più o meno direttamente dal quadrilatero e che si usa comprendere nella più vasta classe dei sistemi articolati. Ricorderemo ora le catene cinematiche semplici, che si deducono dal quadrilatero articolato mediante la sostituzione di una o due coppie rotoidali con coppie prismatiche.

Se in un quadrilatero articolato A B C D (fig. 1) si aumentano indefinitamente le lunghezze di due lati c e d, portando il vertice D a distanza infinita, il moto relativo dei lati stessi diventa traslatorio e la coppia rotoidale di centro D dovrà allora essere sostituita da una coppia prismatica. Si ottiene così una nuova catena cinematica costituita da una manovella (o bilanciere) a, una biella b, un corsoio c e una guida d, connessi a due a due mediante tre coppie rotoidali e una prismatica (fig. 10).

In questa catena cinematica i due membri a e b (che possiamo immaginare ridotti a due semplici aste) sono da riguardare come cinematicamente equivalenti, poiché possiedono accoppiamenti di uguale natura.

Così pure la distinzione fra guida e corsoio ha valore soltanto se, oltre ai criterî cinematici, si prendono in considerazione le forme costruttive dei due organi.

Come dimensioni caratteristiche della catena, oltre le lunghezze a e b, è da considerare la distanza h fra i centri A e C dei rotoidi portati dalla guida e dal corsoio, misurata perpendicolarmente alle generatrici della coppia prismatica.

In relazione all'analoga distinzione usata per il quadrilatero articolato, si dirà ancora che la catena è di prima specie, se

e invece di seconda specie, se

Dalla catena di prima specie, supponendo di tenere fissa la guida d, si ottiene un meccanismo, nel quale il corsoio c è dotato di moto rettilineo alterno e l'asta a agisce come bilanciere (fig. 11). Il meccanismo non varia sostanzialmente, se in luogo del membro d si tiene fisso c. Tenendo invece fisso uno dei membri a e b, si otterrebbe un altro meccanismo del tipo a doppio bilanciere.

Dalla catena di seconda specie, a seconda che si considera come membro fisso d, b, c o a, derivano quattro meccanismi distinti, che si possono chiamare manovellismi di primo, secondo, terzo e quarto genere.

Nel manovellismo di primo genere (fig. 10), detto anche manovellismo di spinta rotativa, la manovella a è dotata di moto rotatorio progressivo, mentre il corsoio si muove di moto rettilineo alterno. Particolarmente importante per le applicazioni è il caso di h = 0 cioè del manovellismo di spinta rotativa centrato; in tal caso la retta su cui si sposta il centro C dell'articolazione portata dal corsoio passa per il centro di rotazione A della manovella (fig. 12).

È questo il meccanismo correntemente impiegato in tutte le macchine a stantuffo per convertire il moto alterno dello stantuffo nel moto rotatorio della manovella, o viceversa (per le principali proprietà cinematiche di questo meccanismo, v. macchine).

Nel manovellismo di secondo genere, il moto rotatorio progressivo della manovella determina un moto oscillatorio del corsoio attorno a un punto fisso C. Se s'inverte la forma costruttiva della coppia prismatica, in modo da dare al membro c la funzione di guida e al membro d quella di corsoio, il manovellismo viene a corrispondere alla disposizione schematica della fig. 13 (supposto sempre h = 0) e prende allora il nome di manovellismo a guida oscillante. A proposito di questo meccanismo si osserva che, se la manovella ruota di moto uniforme, le oscillazioni semplici (verso destra o verso sinistra) del membro c si compiono in tempi differenti t₁ e t₂, che stanno nel rapporto definito da:

ove l'angolo a rappresenta l'inclinazione massima che può assumere il membro oscillante d. Per questa proprietà il meccanismo è applicato per realizzare un movimento con ritorno rapido in talune macchine utensili (limatrici). Lo stesso meccanismo si trova applicato nelle macchine motrici o operatrici a cilindro oscillante.

Nel manovellismo di terzo genere il moto del membro b è oscillatorio e quello di d traslatorio alternativo. Si tratta di un meccanismo che non presenta notevole interesse.

Nel manovellismo di quarto genere (fig. 14) tanto b quanto d sono dotati di moto rotatorio continuo.

Però se b ruota con velocità angolare costante ω₀, la velocità angolare di d varia invece periodicamente, raggiungendo durante ciascun giro un massimo ω₁ e un minimo ω₂, che sono dati da:

Anche questo meccanismo (al quale si può dare il nome di manovellismo a guida rotante) è impiegato per realizzare movimenti a ritorno rapido nelle macchine utensili. Un'altra applicazione importante si è avuta nei motori a cilindri rotanti.

Come caso limite dei manovellismi si può considerare quello rappresentato dalla condizione a = b (con h = 0).

In questo meccanismo (fig. 15), mentre la manovella a ruota di moto continuo, il corsoio c è dotato di moto rettilineo alterno e compie una corsa di lunghezza 4 a.

Se, partendo dalla catena cinematica dei manovellismi (fig. 10), si suppone di sostituire un'altra coppia rotoidale con una coppia prismatica si ottiene l'una o l'altra delle due catene cinematiche rappresentate nelle figure 16 e 17. La differenza fra queste due catene sta nell'ordine con cui si succedono le due coppie rotoidali e le due coppie prismatiche.

Nella prima di queste catene (fig. 16) i due tipi di coppie si alternano, nell'altra invece (fig. 17) sono abbinate le coppie di uguale tipo. ll primo caso non presenta notevole interesse. Nel secondo caso la catena risulta costituita da una doppia guida d, da due corsoi a e c, e da una biella b. Se si suppone di tenere fissa la doppia guida, i due corsoi risultano dotati di moti rettilinei alterni, mentre il moto della biella è caratterizzato dalla condizione che i suoi punti B e C (centri delle articolazioni) si spostano sopra due rette x e y. Volendo definire il moto della biella mediante le polari, si trova facilmente che la polare mobile (solidale con la biella) è una circonferenza che passa costantemente per B, C e per il punto d'intersezione O dei due assi x e y; la polare fissa (solidale con la doppia guida) è una circonferenza di raggio doppio e col centro in O. Da ciò risulta che la natura del moto della biella non dipende dall'angolo formato dalle direzioni x e y delle due coppie prismatiche. Si preferisce allora generalmente disporre le due coppie prismatiche ad angolo retto (fig. 18). Si dimostra anche che le traiettorie dei punti solidali con la biella sono ellissi, a eccezione del centro della polare mobile, che descrive un cerchio, e dei punti della circonferenza della polare mobile stessa, che descrivono diametri della polare fissa.

Questa proprietà è utilizzata impiegando il suddetto meccanismo come ellissografo. Basterà a tal uopo disporre sulla biella una punta scrivente, la quale descriverà allora, sul piano della doppia croce, ellissi di proporzioni varie, a seconda della posizione che la punta stessa occupa rispetto alla biella.

Se invece di tenere fissa la guida si suppone di tenere fisso il membro b, si ottiene un meccanismo, nel quale i corsoi sono dotati di moti rotatorî identici, attorno a due assi paralleli. Questo meccanismo costituisce il giunto di Oldham (v. giunto), impiegato appunto per la trasmissione del moto fra assi paralleli, purché la distanza fra gli assi stessi sia abbastanza piccola.

Infine se si considera come membro fisso uno dei corsoi (c), il membro b assume un moto rotatorio continuo (cioè diviene una manovella) e la doppia guida d un moto rettilineo alterno (fig. 19). Si ha così il manovellismo a glifo o a croce, meccanismo che si può anche pensare derivato direttamente dal manovellismo di spinta (fig. 10) - supponendo di rendere infinita la lunghezza della biella - e, come questo, può essere impiegato per la trasformazione di un moto rotatorio progressivo in un moto rettilineo alterno, o viceversa.

Resta ora da trattare del quadrilatero sferico, catena cinematica che si può pensare realizzata mediante quattro aste arcuate, adagiate tutte sulla superficie di una sfera, e articolate agli estremi.

Indichiamo con a, b, c, d le quattro aste e con A, B, C, D i vertici del quadrilatero (fig. 20). Se si suppone di tenere fissa l'asta d (compresa fra i vertici A e D), le due aste contigue a e c potranno assumere moti rotatorî (progressivi o alterni) attorno ai rispettivi assi OA, OD (essendo O il centro della sfera), mentre il moto dell'asta b sarà definito dalla condizione che i suoi estremi B e C si spostano sopra circonferenze minori della sfera. Si dirà allora che le due aste a e c sono manovelle (o bilancieri) e l'asta b una biellȧ (sferica). Fra le velocità angolari istantanee ω_a e ω_c. delle manovelle sussiste una relazione analoga a quella che vale per il quadrilatero articolato piano. Se si indica con S il punto d'incontro del circolo massimo passante per i centri di rotazione A e D con quello passante per B e C (circoli massimi su cui giaciono le due aste d e b), si ha:

intendendo con (DOS) e (AOS) le ampiezze angolari degli archi di circolo massimo DS e AS.

Fra i vari tipi di quadrilateri sferici (che si potrebbero definire analogamente a quanto si è visto per il quadrilatero piano) il solo che presenti notevole interesse è quello relativo al caso in cui i tre lati mobili del quadrilatero, e cioè a, b, c, siano rettangoli (quadrilatero trirettangolo), cioè abbiano un'ampiezza corrispondente a un quarto di circolo massimo. In tal caso si trova che il rapporto delle velocità angolari delle manovelle ω_a e ω_c varia periodicamente, oscillando durante ciascun giro fra un minimo e un massimo, uguali rispettivamente a:

intendendo con δ l'ampiezza angolare del quarto lato del quadrilatero (lato fisso d).

Il quadrilatero trirettangolo è realizzato nel giunto di Hooke o di Cardano, usato per la trasmissione del moto fra alberi concorrenti (v. giunto).

Bibl.: F. Reuleaux, Theoretische Kinematik, Brunswick 1875; F. Grashof, Theoretische Maschinenlehre, Lipsia 1872; C. Poli, Meccanica generale e applicata, Torino 1927.