quadrilatero

quadrilatero

quadrilatero nella geometria elementare del piano, poligono con quattro lati (e quindi quattro angoli e quattro vertici, che sono i rispettivi estremi comuni a due lati consecutivi). Un quadrilatero è concavo se ha un angolo maggiore di un angolo piatto, oppure convesso, se ognuno dei suoi angoli è minore di un angolo piatto. Un quadrilatero convesso è tale che nessuna delle rette ottenute prolungando un qualsiasi suo lato ne interseca la sua superficie interna; un quadrilatero convesso giace quindi interamente in uno dei due semipiani individuati dalla retta a cui appartiene un suo qualunque lato. Ogni quadrilatero ha due diagonali (le congiungenti vertici opposti) e la somma dei suoi angoli interni è uguale a un angolo giro (360°).

Un quadrilatero convesso i cui vertici giacciono su una stessa circonferenza è detto quadrilatero ciclico. Se le diagonali sono perpendicolari e il quadrilatero è simmetrico rispetto a una di esse, esso prende il nome di deltoide ed è formato da due coppie di lati uguali. Un trapezio è un particolare quadrilatero avente due lati paralleli. Si dice parallelogramma un quadrilatero avente i lati opposti a due a due paralleli. In relazione a particolari proprietà, un parallelogramma è detto:

• rettangolo se i suoi quattro angoli hanno uguale ampiezza (angolo retto);

• rombo se i suoi quattro lati hanno uguale lunghezza;

• quadrato se ha quattro angoli di uguale ampiezza e quattro lati di uguale lunghezza, cioè se è al tempo stesso un rettangolo e un rombo.

Un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se e solo se gli angoli opposti sono supplementari. Un quadrilatero è invece circoscrivibile a una circonferenza se e solo se la somma dei lati opposti è costante. Per un quadrilatero inscrivibile in una circonferenza vale il teorema di → Tolomeo. Per i quadrilateri vale un teorema definito da Eulero, e pertanto detto teorema di Eulero per i quadrilateri, che stabilisce che se a, b, c, d sono le lunghezze dei lati di un quadrilatero, g e h quelle delle sue diagonali e se p indica il suo semiperimetro, allora l’area S risulta:

• per un quadrilatero convesso qualunque:

• per un quadrilatero inscrivibile in una circonferenza:

Si può notare che se uno dei lati ha misura nulla e quindi il quadrilatero si riduce a essere un triangolo, che è sempre inscrivibile in una circonferenza, si riottiene la formula di → Erone per l’area di un triangolo in funzione dei suoi lati.

• per un quadrilatero che sia inscrivibile e circoscrivibile a una circonferenza:

(Si veda anche → Eulero, teoremi di (per un quadrilatero)).