QUANTITÀ di moto

QUANTITÀ di moto (fr. quantité de mouvement; sp. cantitad de movimiento; ted. Bewegungsgrösse o Impuls; ingl. quantity of motion o momentum)

1. Termine meccanico. Di un corpo, schematizzato in un punto materiale e animato di una qualsiasi velocità, si dice quantità di moto il prodotto di questa velocità per la massa del corpo.

Questo concetto risale a R. Descartes. Egli valutava ogni forza agente su di un punto materiale mediante la quantità di moto impressa al punto; e contro questa veduta cartesiana il Leibniz e la sua scuola sostennero che le forze si dovessero invece valutare per mezzo della forza viva (semiprodotto del quadrato della velocità per la massa). Ma in verità le due vedute sono entrambe esatte, purché ciascuna di esse si applichi in condizioni opportune. Considerate, per semplicità, due forze costanti F₁, F₂ e indicate con a₁ e a₂ le accelerazioni che esse imprimono a un medesimo punto materiale di massa m, si ha per la legge fondamentale della dinamica (v. dinamica, n. 1)

Orbene, la valutazione cartesiana risulta esatta, purché nel confronto delle due forze si considerino le quantità di moto, che esse imprimono al punto materiale in capo a un medesimo intervallo di tempo t. Infatti le velocità assunte dal punto al termine di questo tempo sono date da

talché dalle (1) si deduce

e quindi

È, invece, esatta la valutazione leibniziana, se, nel confronto delle due forze, si considerano le forze vive acquisite dal punto in capo a un medesimo cammino s. Infatti, denotando con t₁, t₂ tempi che il punto impiega a percorrere, sotto l'azione delle due forze, il medesimo cammino s, e con v_1, v₂ le velocità così raggiunte, si ha

sicché risulta

e quindi

2. La quantità di moto di un punto acquista il suo pieno significato, quando sia concepita vettorialmente, cioè come il prodotto mv, che si ottiene moltiplicando per la massa del punto la sua velocità vettoriale v. Precisando ed estendendo l'osservazione fatta poc'anzi sulle forze costanti, a proposito della valutazione cartesiana, si perviene a un'importante relazione fra l'impulso (v.)

della forza totale F, agente su un punto materiale di massa m per un dato intervallo di tempo (t₀, t₁), e la quantità di moto così impressa al punto. Si ha precisamente, come immediata conseguenza della legge fondamentale della dinamica,

dove v₀, v₁ designano le velocità acquisite dal punto negl'istanti t₀, t₁ rispettivamente; cioè l'impulso della forza totale agente su un punto materiale per un dato intervallo di tempo è uguale alla variazione, che, in quel medesimo intervallo, subisce la quantità di moto del punto. Questo teorema costituisce la premessa fondamentale per la teoria delle percosse e del moto impulsivo (v. impulsivo, moto).

3. Durante il moto di un sistema materiale qualsiasi S, si dice, istante per istante, quantità di moto del sistema la somma geometrica (v. risultante; vettori) delle quantità di moto che, nell'istante considerato, spettano ai singoli punti costituenti il sistema; talché per un sistema di un numero finito n di punti P₁ (i = 1, 2,..., n) la quantità di moto è data da

dove m₁ e v_i denotano la massa e la velocità del punto P_i. Se, invece, il sistema corrisponde a una distribuzione continua di matPria (lineare o superficiale o cubica), la somma precedente va sostituita con un integrale esteso a tutti gli elementi materiali di tale distribuzione. In ogni caso, se G è il baricentro del sistema S, v_G la rispettiva velocità, m la massa totale di S, si deduce immediatamente dalla definizione di baricentro che

cioè la quantità di moto di un sistema materiale qualsiasi è, a ogni istante, uguale a quella, che in quell'istante spetterebbe al baricentro, qualora fosse un punto materiale, in cui si trovasse concentrata la massa totale del sistema.

Nella dinamica è essenziale la considerazione del momento della quantità di moto di un sistema materiale qualsiasi, rispetto a un generico punto O, cioè la somma dei momenti, rispetto a O, delle quantità di moto dei singoli punti (o elementi) materiali del sistema. Nel caso di un sistema di n punti P_i un tale momento è dato da

e, in ogni caso, si dice coppia d'impulso del sistema ogni coppia di momento K.

Per un solido la quantità di moto e il momento delle quantità di moto, rispetto a un qualsiasi punto O, solidale col corpo, stanno in una relazione particolarmente semplice con la corrispondente forza viva T. Ogni moto di un solido si può pensare decomposto in una successione di ∞¹ moti infinitesimi rototraslatorî, riferiti tutti a un punto O, solidale col corpo; e si dicono, istante per istante, vettori caratteristici del moto la velocità (traslatoria) v₀ di O e la velocità ω del moto infinitesimo rotatorio (intorno a un asse per O), mentre si dicono caratteristiche del moto le componenti u, v, w di v₀ e p, q, r di ω, le une e le altre prese rispetto a una terna di assi solidali col corpo (v. cinematica, nn. 25-27). Ove la forza viva T del solido si esprima per mezzo delle caratteristiche, le componenti (secondo gli assi solidali) della quantità di moto Q e del momento K delle quantità di moto rispetto a O sono date dalle derivate di T rispetto alle sei caratteristiche, e si ha precisamente

4. Per la quantità di moto e per il momento delle quantità di moto di un qualsiasi sistema valgono i due teoremi generali, che si traducono nelle cosiddette equazioni universali o cardinali della dinamica (v. dinamica, n. 16):

Teorema delle quantità di moto o dell'impulso. - La derivata temporale della quantità di moto di un qualsiasi sistema materiale è, istante per istante, uguale alla risultante delle forze esterne agenti sul sistema.

Teorema del momento delle quantità di moto o della coppia d'impulso. - La derivata temporale del momento delle quantità di moto di un sistema materiale qualsiasi rispetto a un punto fisso (o al baricentro del sistema) è, istante per istante, uguale al momento risultante delle forze esterne, rispetto a quel medesimo polo.

Dal primo di questi teoremi e dalla (2) si deduce, in particolare, il teorema della conservazione del moto del baricentro (o anche della quantità di moto): in un sistema materiale qualsiasi, soggetto a forze esterne, la cui risultante sia costantemente nulla, il baricentro si muove di moto rettilineo uniforme, o, in altri termini, la quantità di moto si mantiene invariata. Ciò deve valere, almeno sensibilmente, per il sistema solare, in quanto le attrazioni esercitate su esso dalle stelle, per le enormi distanze di queste, si possono considerare trascurabili di fronte alle attrazioni mutue fra Sole e pianeti; e in realtà si è riconosciuto, in base ad apprezzamenti di media, tratti da un grande numero di osservazioni astronomiche, che il baricentro del sistema solare, situato in prossimità del centro del Sole, si muove, con velocità di circa 20 km./sec., verso un punto della sfera celeste, prossimo a Vega e detto apice.

5. Nella fisica moderna, dopo che fu ammessa l'esistenza di una massa elettromagnetica e, più in generale, la teoria della relatività ebbe condotto a riconoscere una proporzionalità fra energia e massa, il concetto di quantità di moto risultò suscettibile di estensione a ogni forma di energia che si propaghi nello spazio (v. compton; quanti, teoria dei; radiazione).