QUARTICHE

QUARTICHE

. In matematica un'equazione algebrica in quante si vogliono incognite, come pure una funzione razionale intera o una forma algebrica in quante si vogliono variabili, si dice "quartica", per indicare che è di 4° grado; e, sostantivando l'aggettivo, si chiama "quartica" ogni ente geometrico algebrico di 4° ordine (sulla retta, nel piano, nello spazio, ecc.).

Per la risoluziane dell'equazione di 4° grado in un'incognita, v. algebra, n. 39; qui si parlerà dei più semplici enti geometrici dianzi accennati.

1. Il primo caso è quello di una quaterna ABCD di punti di una retta, determinati come aventi per coordinate le radici di una equazione di 4° grado in una sola incognita, la quale, ove s'introducano coordinate omogenee (v. coordinate, n. 20) assumerà l'aspetto f(x₁, x₂) = 0, dove il primo membro è una forma binaria quartica. Le proprietà proiettive della quaderna rispondono alle proprietà invariantive della forma, rispetto alle trasformazioni lineari su x₁, x₂ (v. geometria, n. 20; invariante).

Fino dagl'inizî della geometria proiettiva si apprende che la quaterna possiede un invariante assoluto, che è dato dal birapporto

dei quattro punti. Per verità questo birapporto dipende dall'ordine in cui si prendono i quattro punti ABCD, dando luogo in generale a 6 valori diversi

per le 24 permutazioni di essi. Ma in luogo di a, si può assumere come invariante assoluto una qualsiasi funzione di α; e in particolare prendendo

si ottiene un invariante assoluto razionale (indipendente dall'ordine in cui vengono dati i quattro punti o le radici della relativa equazione) che caratterizza la quaterna sotto l'aspetto proiettivo.

L'espressione dell'invariante assoluto J si può presentare come quoziente di due altri, esprimibili in modo razionale intero per mezzo dei coefficienti della forma f; si ottengono così due invarianti (relativi) della forma stessa, cioè due espressioni che, per una sostituzione lineare su x₁ e x₂, restano invariate a meno di un fattore (potenza del modulo della sostituzione), le quali perciò, eguagliate a zero, esprimono proprietà proiettive della quaterna; più precisamente, eguagliando a zero i detti invarianti (rispettivamente del 3° e del 2° grado nei coefficienti di f) si ottengono le quaterne armoniche (a = −1) e equianarmoniche

le prime dànno luogo a tre valori distinti del birapporto, mentre le seconde (che non sono mai costituite da quattro punti reali) dànno soltanto due birapporti distinti

Lo studio della quaterna di punti ABCD importa la considerazione non solo degl'invarianti della forma quartica f(x₁, x₂), bensì anche dei suoi covarianti, cioè delle forme binarie collegate alla f, che eguagliate a zero rappresentano gruppi di punti legati proiettivamente con la nostra quaterna. I principali covarianti di f si ottengono definendo anzitutto il gruppo polare di un punto (y) rispetto ad f = 0:

Questo gruppo è costituito da una terna di punti, e il polare di (y) rispetto alla detta terna dà il gruppo (di due punti) secondo polare rispetto ad f. Infine il terzo polare di (y) rispetto alla quaterna f = 0 è costituito da un punto solo.

Esistono quattro punti P, Q, R, S, della retta, ciascuno dei quali ha per 2° gruppo polare un punto doppio. La binaria quartica che rappresenta questa nuova quaterna è la hessiana di f:

Ed anche il gruppo PQRS, rappresentato da h = 0, si dice hessiano di ABCD. I quattro punti doppî dei polari di P, Q, R, S costituiscono il cosiddetto gruppo steineriano di ABCD e sono rappresentati dall'annullamento di una seconda forma covariante di f, del 4° grado in x₁ e x₂, che è la sua steineriana.

Oltre alle due forme covarianti del 4° grado, sopra menzionate, la f possiede un altro covariante notevole, che è del 6° grado: questo covariante sestico risponde al gruppo di 6 punti costituito dalle tre coppie HH′, KK′, LL′, che dividono armonicamente le tre coppie di punti in cui si può separare la quaterna ABCD (cioè le coppie AB, CD; AD, BC; AC, BD). È notevole che esistono ∞¹ forme quartiche f, aventi lo stesso covariante sestico, e quindi mi quaderne di punti, formanti un'involuzione (sizigetica) g₄¹, che dànno luogo alla medesima sestica HH′, KK′, LL′.

2. Dal caso considerato innanzi passiamo immediatamente a quello di una curva piana rappresentata da un'equazione di 4° grado in due variabili, ovvero in coordinate omogenee, dall'annullamento di una forma ternaria f(x₁, x₂, x₃) = 0. La curva così rappresentata è del 4° ordine, essendo incontrata da una retta in quattro punti, e, come già si è notato, si dice brevemente quartica.

Le quartiche piane sono state studiate, in più sensi, da diversi geometri. Secondo le note formule del Plücker (v. curve, n. 6), la quartica piana generale, che è priva di punti doppî (e perciò ha il genere 3) è un inviluppo di classe 12, e possiede 28 tangenti doppie (con contatti distinti) e 24 flessi. Il gruppo delle tangenti doppie e dei 56 punti di contatto dà luogo a una configurazione cui spettano proprietà semplici e interessanti: in specie si trovano, fra i 56 punti suddetti, 315 gruppi di 8 punti che appartengono a una conica; per modo che i 4 punti di contatto di due bitangenti appartengono a 5 coniche siffatte.

Le prime proprietà della configurazione anzidetta, dedotte in forma erronea da J. Plücker, sono state riconosciute da J. Steiner (1852), e poi da O. Hesse (1853). Uno studio approfondito della stessa configurazione è stato sviluppato da S. Aronhold (1864), che ha messo in luce certi gruppi notevoli di 7 bitangenti della quartica, a partire dalle quali si possono costruire le 21 bitangenti restanti. Citiamo ancora le ricerche sull'argomento di A. Cayley, e quelle di C. F. Geiser e di R. De Paolis in rapporto alle superficie cubiche e alle trasformazioni piane doppie. Infine diciamo che il problema si collega alle equazioni per la bisezione degli argomenti delle funzioni abeliane di genere 3 (A. Clebsch).

Alle proprietà semplici e brillanti, che caratterizzano la configurazione delle 28 bitangenti, non fa riscontro alcuna conoscenza analoga per la configurazione dei 24 flessi: proprietà di tal genere sono state fin qui inutilmente ricercate dai geometri, almeno per le quartiche generali.

Quartiche piane particolari hanno pur dato luogo a ricerche interessanti. Speciale menzione meritano le quartiche con trasformazioni proiettive in sé. Quelle che ammettono un gruppo continuo ∞¹ di trasformazioni rientrano in una nota famiglia di curve di Klein e Lie (v. klein, felix).

Invece le quartiche piane con un gruppo finito di trasformazioni proiettive hanno importanza nella teoria dei gruppi finiti di omografie piane. Per notizie su tali argomenti, v. luoghi citati in bibl.

3. Passando dal piano allo spazio, le curve del 4° ordine sghembe (quartiche sghembe o gobbe) non formano più una sola famiglia. Vi sono infatti due specie di quartiche gobbe: le quartiche di prima specie, intersezioni complete di due superficie del 2° ordine, in generale prive di punti doppî e aventi il genere 1, le quali ammettono perciò una rappresentazione parametrica mediante funzioni ellittiche; e le quartiche di seconda specie, razionali, che non si possono ottenere come intersezioni complete di due superficie, ma si lasciano definire come intersezioni residue di una superficie del 2° ordine con una del 3° ordine passante per due generatrici di essa.

Questa seconda specie di quartiche è stata scoperta da G. Salmon (1849); e queste curve sono state poi studiate da L. Cremona, E. Bertini, ecc. Le quartiche di prima specie sono in stretto rapporto con le cubiche, che da esse si ottengono per proiezione da un loro punto su un piano; pertanto le loro proprietà proiettive dipendono da un invariante assoluto, che è lo stesso della cubica immagine e che si lascia definire dal birapporto costante che formano quattro piani tangenti ad essa per una corda.

Ora è assai notevole il fatto che anche le quartiche di seconda specie, sebbene per motivi affatto diversi, vengano pure a dipendere da un invariante assoluto, fornito dal birapporto di quattro punti, cioè dei quattro punti stazionarî sopra la curva.

4. L'equazione di 4° grado in tre variabili, ovvero una forma quaternaria del detto grado, che venga eguagliata a zero, rappresenta una superficie del 4° ordine o quartica dello spazio.

Lo studio generale di queste superficie porta alla teoria invariantiva delle superficie, dal punto di vista delle trasformazioni birazionali (teoria della superficie con i generi eguali ad uno). D'altra parte vi sono numerose ricerche concernenti superficie quartiche particolari. Citiamo, per esempio, le ricerche di L. Cremona e di A. Clebsch sulle quartiche dotate di curva doppia, che risultano razionali, salvo il caso delle rigate ellittiche con due direttrici rettilinee doppie.

Fra codeste superficie razionali del 4° ordine merita speciale menzione la superficie con tre rette doppie uscenti da un punto triplo, che è la superficie romana di J. Steiner (così chiamata dal suo scopritore); essa è l'unica superficie non rigata che possegga ∞² sezioni piane (tangenti) riducibili (teorema di Kronecker-Castelnuovo).

Anche altre superficie del 4° ordine non razionali hanno formato oggetto di studio particolare. Ricordiamo la superficie hessiana di una cubica, che è il luogo dei punti la cui quadrica polare rispetto alla cubica ha un punto doppio; codesta superficie possiede 10 punti doppî che sono i vertici del pentaedro di Sylvester della cubica (pentaedro in rapporto a cui l'equazione di questa superficie si esprime annullando la somma di 5 cubi di espressioni lineari).

Infine giova ricordare la superficie del 4° ordine e della 4ª classe detta del Kummer, che viene caratterizzata dal pDssesso di 16 punti doppî conici (e di 16 piani tangenti lungo coniche). Tale superficie nasce come superficie singolare del complesso di rette del 2° grado (cioè come luogo dei punti per cui il cono complesso si spezza in due fasci, e dualmente). F. Klein ha dimostrato che la detta superficie ammette una rappresentazione parametrica mediante funzioni doppiamente periodiche pari di due variabili indipendenti.

Bibl.: F. Enriques e O. Chisini, Lezioni sulla teoria geoemetrica delle equazioni e delle funzioni algebriche, voll. 4, Bologna 1915-1928 (per le binarie quartiche, I, pp. 22-53; per le quartiche piane, ibid. pp. 302-322 e III, pp. 255-260; per le quartiche gobbe, III, pp. 135-150; per la hessiana di una superficie cubica, III, pp. 72-76; per la superficie dello Steiner, IV, p. 590); E. Ciani, Introduzione alla geometria algebrica, Padova 1931.