QUATERNIONI
QUATERNIONI
. I quaternioni, introdotti nella matematica verso la metà del secolo XIX dal matematico e astronomo irlandese Sir William Rowan Hamilton, costituiscono il primo notevole esempio di sistemi di numeri ipercomplessi o a più di due unità o, come oggi si suol dire, di algebre (v. immaginario).
Un quaternione (dal latino quaternio: gruppo di quattro) è costituito da una quaderna ordinata a, b, c, d di numeri reali. Indicando con p il quaternione, si scrive
dove i simboli i, j, k stanno a designare l'ordinamento delle quattro quantità reali, e i segni + hanno ufficio di collegamento.
Operazioni. - Due quaternioni
si dicono eguali se tali risultano le rispettive costituenti; cioè se a′ = a″, b′ = b″, c′ = c′, d′ = d″.
Il quaternione
si dice somma dei quaternioni p′ e p″, e si designa col simbolo p′ + p″. L'operazione di somma (di due o più addendi) gode delle proprietà commutativa e associativa. Il prodotto dei due quaternioni p′ e p″ è un nuovo quaternione che si ottiene con la regola seguente (palesemente analoga a quella che definisce il prodotto di due complessi ordinarî): considerati i due quaternioni p′ e p″ come polinomî nelle variabili i, j e k si sviluppi il loro prodotto con le ordinarie regole dell'algebra (e cioè applicando la proprietà distributiva), avendo cura di non invertire mai, nei singoli prodotti parziali, l'ordine secondo cui compaiono i fattori i, j e k (così da tenere distinto, p. es., il termine in i • j dal termine in j • i). Nell'espressione (di secondo grado in i, j e k che così si ottiene) si ponga:
Si ottiene in tal modo un'espressione (lineare in i, j e k), la quale viene assunta a rappresentare il prodotto di p′ per p″ e si designa col simbolo p′ • p″. Si trova precisamente:
Sulla precedente definizione si constata che il prodotto di due o più quaternioni gode della proprietà associativa, ma non di quella commutativa. Se si dicono coniugati due quaternioni
i quali differiscano solo per il segno dei coefficienti di i, j e k, si riconosce che il prodotto p • p è sempre una quantità reale. Precisamente si ha
ossia, chiamando modulo di p e designando con mod p l'espressione omogenea di primo grado √a2 + b2 + c2 + d2,
Il modulo di un quaternione soddisfa alla proprietà seguente (analoga ad altra ben nota che vige per i complessi ordinarî)
Inverso di un assegnato quaternione p è un nuovo quaternione, designato col simbolo
soddisfacente alla relazione
Moltiplicando (a sinistra) ambo i membri della precedente relazione per ä (coniugato di p) e ricordando che ä • p = (mod p)2, si ottiene
L'inverso di p soddisfa, oltre che alla relazione
anche all'altra
Quoziente di un quaternione p′ per un altro quaternione p″ è il prodotto di p′ per l'inverso di p″. Poiché in questo prodotto p′. comparisce come primo o come secondo fattore, vi è luogo a considerare due specie di quozienti fra p′ e p″. Essi sono
L'operazione di quoziente, come quella d'inverso, è palesemente possibile ogni volta che non sia nullo il quaternione denominatore.
È stato osservato che l'algebra dei quaternioni si può sostanzialmentc ridurre all'algebra di un particolare tipo di matrici (v. matrice). Si associ, infatti, al generico quaternione p = a + bi + cj + dk la particolare matrice quadrata del quart'ordine
nella quale gli elementi delle successive colonne sono, ordinatamente, le parti costituenti di p e dei prodotti p • i, p • j, p • k. Si constata che alle operazioni (di somma, di prodotto, d'inverso) fra i quaternioni, corrispondono operazioni analoghe fra le rispettive matrici (e, in particolare, all'operazione di prodotto fra quaternioni, quella di prodotto "righe per colonne" fra le corrispondenti matrici). Il determinante ∣P∣ della matrice P è la quarta potenza di mod p. La nota legge di moltiplicazione dei determinanti
equivale pertanto alla relazione mod4 (p • q) = mod4 p • mod4 q, e cioè al teorema (precedentemente indicato): mod (p • q) = mod p • mod q.
Applicazioni. - Le applicazioni dei quaternioni, nella geometria e nella meccanica, sono numerose. Le une e le altre sono basate sulla possibilità di pensare il quaternione p = a + bi + cj + dk come rappresentato dall'aggruppamento del numero reale a, e di un generico segmento (orientato) dello spazio avente b, c, d come proiezioni sugli assi coordinati. Se si conviene di chiamare vettore la classe di tutti i segmenti dello spazio aventi la stessa lunghezza, la stessa direzione e lo stesso verso (e quindi le stesse proiezioni sui tre assi coordinati), si può dire che un generico quaternione è costituito dall'aggruppamento di un numero reale e di un vettore.
Siano dati nello spazio due vettori; e a ciascuno di essi sia associata una quantità reale. Stabilito un sistema di assi di riferimento si dicano p′ e p″ i quaternioni corrispondenti a questi due aggruppamenti di vettori e quantità reali. La somma p′ + p″ individuerà un nuovo vettore e una nuova quantità reale; e importa rilevare che questo vettore e questa quantità reale non dipendono dalla scelta dedi assi di riferimento. Similmente si vede che non dipendono dalla direzione degli assi (ma solo dall'unità di lunghezza prescelta) il vettore e la quantità reale ottenuti da p′ e p″ con l'operazione di moltiplicazione. Queste proprietà, peculiari dell'algebra dei quaternioni, rendono questi ultimi particolarmente adatti allo studio di quelle proprietà (geometriche e meccaniche) delle figure, le quali non dipendono dal particolare sistema di assi cui si fa riferimento.
Bibl.: W. R. Hamilton, Lectures on Quaternions, Dublino 1853; id., Elements of Quaternions, Londra, 1ª ed., 1866; 2ª ed., 1899-1901; P. Kelland e P. G. Tait, Introduction to Quaternions, Londra 1904; J. B. Shaw, Vector Calculus with applications to physics, ivi 1922.