quoziente

quoziente

quoziente risultato dell’operazione di divisione. Di due numeri a (dividendo) e b ≠ 0 (divisore) è il numero c tale che b ⋅ c = a; esso è univocamente definito ed è anche indicato con i simboli a /b o ab⁻¹. Se a e b sono due numeri interi, è detto quoziente della divisione con resto tra a e b il massimo intero q tale che b ⋅ q ≤ a, mentre la differenza a − b ⋅ q è detta resto; se il resto di tale divisione è zero, allora, volendo sottolineare che il quoziente è il risultato “esatto” dell’operazione di divisione, esso è talvolta detto quoto. Analogamente al caso numerico, si definisce il quoziente in una divisione con resto tra due polinomi a(x) e b(x), di cui il secondo non nullo, come il polinomio monico q(x) di grado massimo tale che a(x) − b(x) ⋅ q(x) ha grado minore di b(x).

☐ In teoria degli insiemi, il termine «quoziente» è anche utilizzato per indicare l’insieme quoziente di un dato insieme X rispetto a una relazione di equivalenza su di esso definita. Se l’insieme X è dotato di un’ulteriore struttura algebrica o geometrica e se la relazione rispetto alla quale si quozienta è, in qualche senso da precisare, “compatibile” con la struttura di X, è allora possibile trasferire tale struttura sull’insieme quoziente.

Quoziente di un insieme rispetto a una relazione di equivalenza

Se X è un insieme e ∼ è una relazione di equivalenza su di esso, allora l’insieme quoziente di X rispetto a ∼, indicato con il simbolo X/∼, è l’insieme delle classi di equivalenza di X rispetto a ∼: in altre parole X/∼ è l’insieme i cui elementi sono i sottoinsiemi di X della forma

dove x è un opportuno elemento di X, detto rappresentante della classe. Una classe di equivalenza coincide con un insieme massimale di elementi equivalenti tra di loro; se x ∼ y, allora [x] = [y], viceversa ogni elemento è per definizione un rappresentante della propria classe di equivalenza. Pertanto X/∼ = {[x] : x ∈ X}. Con la locuzione passaggio al quoziente ci si riferisce all’operazione che permette di passare da X a X/∼: esso è definito mediante la funzione π: X → X/∼, detta proiezione canonica di X su X/∼, che associa a un elemento x di X la sua classe di equivalenza [x].

Quoziente di un gruppo rispetto a un sottogruppo normale

Se G è un gruppo e H un suo sottogruppo normale, le due partizioni di G in classi laterali sinistre e destre indotte da H coincidono tra di loro:

Tale partizione di G determina su di esso una relazione di equivalenza ∼, definita da

o equivalentemente, grazie alla normalità di H, da

Le classi di equivalenza di ∼ coincidono con le classi laterali di G modulo H:

Considerato l’insieme quoziente G/∼ di G rispetto a ∼, a partire dall’operazione di cui è dotato G si definisce su di esso una nuova operazione: se g₁H e g₂H sono due classi laterali, si pone allora

Grazie alla normalità di H l’operazione risulta essere ben definita, vale a dire essa non dipende dai particolari rappresentanti prescelti all’interno delle classi. L’operazione inoltre eredita tutte le proprietà soddisfatte dall’operazione definita in G, vale a dire l’associatività, l’esistenza dell’elemento neutro (che coincide con la classe [e] = eH = H, dove e indica l’elemento neutro di G), l’esistenza della classe inversa di ogni classe [g] = gH (che coincide con la classe dell’inverso [g⁻¹] = g⁻¹H). Pertanto l’insieme quoziente G/∼ eredita da G una struttura di gruppo; dotato di tale struttura, l’insieme quoziente G/∼ è detto il gruppo quoziente di G per H (o modulo H) ed è indicato con il simbolo G /H. Se G è un gruppo commutativo, allora anche G /H lo è; se G è un gruppo finito, allora l’ordine del gruppo quoziente G /H coincide con l’indice di H in G. Rispetto alle rispettive strutture di gruppo, la proiezione al quoziente π: G → G /H è un omomorfismo suriettivo di gruppi. Per esempio, se G è il gruppo Z dei numeri interi rispetto all’addizione e se I è il sottogruppo (normale) generato dall’intero n, allora il gruppo quoziente coincide con il gruppo additivo dell’anello Z_n delle classi resto modulo n.

Quoziente di uno spazio vettoriale rispetto a un sottospazio vettoriale

Uno spazio vettoriale V è per definizione un gruppo commutativo rispetto all’addizione e quindi ogni suo sottogruppo, vale a dire ogni suo sottospazio W, è un sottogruppo normale. È definito pertanto il gruppo quoziente V /W; per definire su di esso una struttura di spazio vettoriale resta da definire il prodotto di una classe di equivalenza per uno scalare: se v è un vettore di V e α è uno scalare, si pone dunque: α ⋅ [v] = [α ⋅ v]. Dotato di questa ulteriore operazione, il gruppo quoziente V /W acquisisce la struttura di spazio vettoriale, rispetto alla quale esso è detto lo spazio vettoriale quoziente di V per W. Rispetto a tale struttura di spazio vettoriale, la proiezione al quoziente π: V → V /W è un’applicazione lineare suriettiva. Se V ha dimensione n e W ha dimensione k, allora V /W ha dimensione n − k; più precisamente se {v₁, v₂, …, v_n} è una base di V e W e il sottospazio vettoriale generato dai vettori {v₁, v₂, …, v_k}, con k < n, allora lo spazio vettoriale quoziente V /W è naturalmente isomorfo al sottospazio di V generato dai vettori {v_k+1, …, v_n}.

Quoziente di un anello rispetto a un ideale bilatero

Se A è un anello e I un suo ideale bilatero, vale a dire un sottogruppo del gruppo additivo dell’anello che soddisfa le condizioni

• s ∈ I ⇒ ∀a ∈ A (a ⋅ s ∈ I)

• s ∈ I ⇒ ∀a ∈ A (s ⋅ a ∈ I)

allora I è un sottogruppo normale del gruppo additivo (A, +); pertanto è definito il gruppo quoziente A /I, la cui operazione è indicata sempre con +, il quale è commutativo poiché (A, +) lo è. Per definire su tale gruppo una struttura di anello, bisogna definire un’ulteriore operazione di moltiplicazione; a tal fine, se a + I e b + I sono due elementi di A /I, si pone

e grazie alle precedenti proprietà, l’operazione risulta essere ben definita, vale a dire non dipende dai particolari rappresentanti prescelti all’interno delle classi. La moltiplicazione così definita in A /I eredita tutte le proprietà soddisfatte dalla moltiplicazione definita in A, vale a dire l’associatività e la distributività rispetto all’addizione. Dotato di tale operazione, il gruppo quoziente A /I acquisisce dunque la struttura di anello, rispetto alla quale è detto l’anello quoziente di A modulo I. Se in aggiunta A è un anello unitario o un anello commutativo, allora anche l’anello quoziente A /I lo è con unita la classe dell’eventuale unità; se un elemento di A è invertibile, allora anche la sua classe lo è, con inversa la classe dell’inverso. Rispetto a tale struttura di anello, la proiezione al quoziente π: A → A /I è un omomorfismo suriettivo di anelli. Come nel caso dei gruppi, se A è l’anello Z dei numeri interi e se I è l’ideale (bilatero) generato dall’intero n, allora l’anello quoziente coincide con l’anello Z_n delle classi resto modulo n.

Quoziente di uno spazio topologico rispetto a una relazione di equivalenza

Se X è uno spazio topologico e ∼ una relazione di equivalenza su di esso, a partire dalla topologia definita su X è possibile definire una topologia (detta topologia quoziente) sull’insieme quoziente X/∼ come segue: se π: X → X/∼ è la proiezione al quoziente, allora si definiscono come aperti di X/∼ quei sottoinsiemi A ⊆ X/∼ tali che π⁻¹(A) è un aperto di X. Effettivamente, la famiglia di aperti così definita soddisfa gli assiomi di una topologia e determina su X/∼ una struttura di spazio topologico, rispetto alla quale esso è detto lo spazio topologico quoziente di X rispetto a ∼. Rispetto a tale struttura di spazio topologico, la proiezione al quoziente π: X → X/∼ è una identificazione.