raccoglimento a fattor comune
raccoglimento a fattor comune
raccoglimento a fattor comune o messa in evidenza, procedura algebrica che si effettua su una somma di numeri, di monomi o più in generale di elementi di un arbitrario anello; essa consiste nell’applicare la proprietà distributiva in modo da trasformare una formula additiva in una moltiplicativa, più agevole da trattare o “semplificare”. Tale operazione è particolarmente utile nella semplificazione di formule ed espressioni in cui compaiono frazioni e nella fattorizzazione dell’espressione su cui si opera (specialmente nel caso di un polinomio). Più precisamente, se è data una somma di elementi contenenti un fattore comune (vale a dire una somma in cui ogni addendo è multiplo di uno stesso elemento), è allora possibile raccogliere tale fattore tra tutti gli addendi (vale a dire metterlo in evidenza): ci si riduce in questo modo a un’espressione equivalente, in cui il fattore comune moltiplica la somma di tutti i termini dell’espressione precedente, divisi per il fattore comune. Per esempio, data l’espressione 2 + 4 + 6 + 8, in cui tutti gli addendi sono multipli di 2, si può raccogliere a fattore comune il numero 2 e metterlo in evidenza, riscrivendo l’espressione precedente in forma equivalente come 2 ⋅ (1 + 2 + 3 + 4); analogamente, si può riscrivere il polinomio x 4 − x 3 + 3x 2 nella forma x 2 (x 2 − x + 3) raccogliendo a fattore comune x 2. Se, come nei precedenti esempi, nel raccoglimento sono coinvolti tutti gli addendi dell’espressione considerata, si parla allora di raccoglimento totale; si parla invece di raccoglimento parziale se si opera solamente su una parte degli addendi. Per esempio, volendo fattorizzare il polinomio ax + by + bx + ay, è possibile procedere mediante due raccoglimenti parziali e infine con un raccoglimento totale: prima, raccogliendo a tra il primo e il quarto termine e b tra il secondo e il terzo termine, si scrive l’espressione nella forma a(x + y) + b(x + y); da questa espressione si raccoglie infine il fattore (x + y) e si ottiene (x + y)(a + b), cioè la fattorizzazione cercata.