radicale

radicale

radicale termine che assume diversi significati a seconda del contesto. Nel contesto del calcolo letterale, il termine indica genericamente una espressione moltiplicativa del tipo

in cui a è detto coefficiente del radicale e b a sua volta può essere un’espressione. Se il coefficiente è uguale a 1, il radicale è semplicemente una → radice. La scrittura

è detta parte radicale del radicale

essa indica l’operazione di estrazione di radice ennesima: il numero naturale n > 1 che vi compare è detto indice della radice, mentre l’espressione b è detta radicando. Se l’indice è 2, il radicale è detto radicale quadratico, la radice è infatti la radice quadrata dell’espressione che compare sotto il suo segno e l’indice viene omesso; se l’indice è 3, il radicale viene detto radicale cubico e la radice è la radice cubica; se l’indice è 4 o un numero naturale maggiore, si può parlare analogamente di radicale quarto, radicale quinto ecc.

Sulla base delle proprietà della radice che compare in esso, un radicale può essere opportunamente ridotto, portando fuori radice un fattore del radicando il cui esponente sia maggiore dell’indice della radice; per esempio:

Se non è possibile portare fuori alcun fattore, il radicale è detto irriducibile. È tale per esempio

mentre non è irriducibile

perché può essere riscritto equivalentemente come

Operazioni con i radicali

Le operazioni di addizione e sottrazione sono definite solo per radicali che, pur avendo eventualmente coefficienti diversi, hanno uguale la parte radicale:

La situazione è analoga a quella dell’insieme dei monomi: come l’addizione e sottrazione sono definite solo per monomi simili (aventi cioè la stessa parte letterale), così l’addizione e la sottrazione di radicali è definita solo per radicali aventi la stessa parte radicale. L’operazione di moltiplicazione è sempre definita e la si esegue trasformando preventivamente le due parti radicali in modo tale che le rispettive radici abbiano lo stesso indice (→ radice):

Analogamente si definisce la divisione di un radicale per un altro che non sia nullo. L’elevazione a potenza di un radicale è ricavabile dalle proprietà della radice:

L’indice della radice resta invariato mentre si esegue l’elevazione a potenza del coefficiente e del radicando. La radice di un radicale si ricava anch’essa dalle proprietà delle radici:

Per i radicali (e più in generale per le radici) vale la proprietà invariantiva: il valore di un radicale rimane invariato se si moltiplicano o si dividono l’indice della radice e l’esponente del radicando per lo stesso numero intero positivo. Per ogni coppia di interi n > 0, p > 0:

La radice

che costituisce la parte radicale di

può essere intesa come radice algebrica o come radice aritmetica (→ radice); il radicale stesso è quindi rispettivamente detto radicale algebrico oppure radicale aritmetico.

☐ Per altri significati del termine radicale si vedano i lemmi: → anello, radicale di un; → asse radicale (di due circonferenze) dove è definito anche il centro radicale (di tre circonferenze); → ideale radicale; → ideale, radicale di un; → Jacobson, radicale di (di un anello).